Algèbre Exemples

$\frac{1}{3} \log ({(x - 1)}^{3}) + \frac{1}{2} (\log (x^{4}) - \log (x^{2} - x - 6))$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{1}{3} \log ({(x - 1)}^{3})$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$\log ({({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log (x^{2} - x - 6))$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log ({(x - 1)}^{3 (\frac{1}{3})}) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log (x^{2} - x - 6))$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\log ({(x - 1)}^{3 (\frac{1}{3})}) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log (x^{2} - x - 6))$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log ({(x - 1)}^{1}) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log (x^{2} - x - 6))$

Étape 1.3

Simplifiez

$\log (x - 1) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log (x^{2} - x - 6))$

Étape 1.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (x - 1) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{x^{2} - x - 6})$

Étape 1.5

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\log (x - 1) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{(x - 3) (x + 2)})$

Étape 1.6

Simplifiez $\frac{1}{2} \log (\frac{x^{4}}{(x - 3) (x + 2)})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\log (x - 1) + \log ({(\frac{x^{4}}{(x - 3) (x + 2)})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.7.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{4}}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$\log (x - 1) + \log (\frac{{(x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{{((x - 3) (x + 2))}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.7.2

Appliquez la règle de produit à $(x - 3) (x + 2)$ .

$\log (x - 1) + \log (\frac{{(x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.8

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (x - 1) + \log (\frac{x^{4 (\frac{1}{2})}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\log (x - 1) + \log (\frac{x^{2 (2) \frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log (x - 1) + \log (\frac{x^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log (x - 1) + \log (\frac{x^{2}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 1) \frac{x^{2}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3

Multipliez $x - 1$ par $\frac{x^{2}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\log (\frac{(x - 1) x^{2}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\log (\frac{(x - 1) x^{2}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\log (\frac{x^{2} (x - 1)}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$