Algèbre Exemples

$\frac{a^{2} - 5}{a^{3} - 1} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{a^{2} - 5}{a^{3} - 1^{3}} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = a$ et $b = 1$ .

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1^{2})} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Étape 1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1} \cdot \frac{a - 1}{a - 1}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a - 1) (a^{2} + a + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$ par $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a^{2} + a + 1) (a - 1)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(a^{2} + a + 1) (a - 1)$ .

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a^{2} - 5 - (a + 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} - 5 + (- a - 1 \cdot 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{a^{2} - 5 + (- a - 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Étape 5.3

Développez $(- a - 1) (a - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} - 5 - a (a - 1) - 1 (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Étape 5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} - 5 - a \cdot a - a \cdot - 1 - 1 (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} - 5 - a \cdot a - a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Étape 5.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.1.1

Déplacez $a$ .

$\frac{a^{2} - 5 - (a \cdot a) - a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Étape 5.4.1.1.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} - a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez $- a \cdot - 1$ .

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Étape 5.4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + 1 a - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Étape 5.4.1.2.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + a - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Étape 5.4.1.3

Réécrivez $- 1 a$ comme $- a$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + a - a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Étape 5.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + a - a + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Étape 5.4.2

Soustrayez $a$ de $a$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + 0 + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Étape 5.4.3

Additionnez $- a^{2}$ et $0$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Étape 5.5

Soustrayez $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{0 - 5 + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Étape 5.6

Soustrayez $5$ de $0$ .

$\frac{- 5 + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Étape 5.7

Additionnez $- 5$ et $1$ .

$\frac{- 4}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$