Algèbre Exemples

${(\sqrt{x - 5})}^{7}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(\sqrt{x - 5})}^{7}$ comme $\sqrt{{(x - 5)}^{7}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 5)}^{7}}]$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{(x - 5)}^{7}}$ comme ${(x - 5)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{7}{2}}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{7}{2}}$ et $g (x) = x - 5$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{7}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2} u^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 5$ .

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $7$ .

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.8

Associez $\frac{7}{2}$ et ${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.11

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} (1 + 0)$

Étape 1.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} \cdot 1$

Étape 1.12.2

Multipliez $\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\frac{7}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{5}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ et $g (x) = x - 5$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 5$ .

$\frac{7}{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 5$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Associez $\frac{5}{2}$ et ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 2.7.2

Multipliez $\frac{5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ par $\frac{7}{2}$ .

$\frac{5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 7}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 2.7.3

Multipliez.

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Étape 2.7.3.1

Multipliez $7$ par $5$ .

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 2.7.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 2.10

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} (1 + 0)$

Étape 2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} \cdot 1$

Étape 2.11.2

Multipliez $\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4}$