Algèbre Exemples

$y = \frac{1}{2} x^{2} \sqrt{16 - x^{2}}$

Étape 1

Réécrivez le côté droit avec des exposants rationnels.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{16 - x^{2}}$ comme ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} \cdot (x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}]$

Étape 4.1.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 16 - x^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $16 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $16 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.8

Associez les fractions.

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Étape 4.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.8.3

Placez ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.10

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.14

Associez les fractions.

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Étape 4.14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.14.2

Associez $- 2$ et $\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.14.3

Associez $\frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.17

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{3}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.18

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.19.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.19.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.19.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.21

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Étape 4.22

Remettez dans l’ordre.

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Étape 4.22.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x)$

Étape 4.22.2

Déplacez ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.23

Pour écrire $2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.25

Multipliez ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.25.1

Déplacez ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x ({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.25.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.25.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.25.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.25.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{1}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.26

Simplifiez $2 x {(- x^{2} + 16)}^{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 16)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.27

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 16)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 16)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.28

Simplifiez

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Étape 4.28.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.28.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.28.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.28.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.28.2.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.28.2.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.28.2.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.28.2.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.28.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.28.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.28.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.28.2.1.4

Multipliez $16$ par $2$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 32 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.28.2.2

Soustrayez $2 x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 32 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.28.3

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{3} + 32 x$ .

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Étape 4.28.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$\frac{x (- 3 x^{2}) + 32 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.28.3.2

Factorisez $x$ à partir de $32 x$ .

$\frac{x (- 3 x^{2}) + x \cdot 32}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.28.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 3 x^{2}) + x \cdot 32$ .

$\frac{x (- 3 x^{2} + 32)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.28.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x (- (3 x^{2}) + 32)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.28.5

Réécrivez $32$ comme $- 1 (- 32)$ .

$\frac{x (- (3 x^{2}) - 1 (- 32))}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.28.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (- 32)$ .

$\frac{x (- (3 x^{2} - 32))}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.28.7

Réécrivez $- (3 x^{2} - 32)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 32)$ .

$\frac{x (- 1 (3 x^{2} - 32))}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.28.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x (3 x^{2} - 32)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{x (3 x^{2} - 32)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x^{2} - 32)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$