Algèbre Exemples

$36 x^{2} - 25 y^{2} - 288 x - 100 y + 1376 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Soustrayez $1376$ des deux côtés de l’équation.

$36 x^{2} - 25 y^{2} - 288 x - 100 y = - 1376$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $36 x^{2} - 288 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 36$

$b = - 288$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 288}{2 \cdot 36}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 288$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 288$ .

$d = \frac{2 \cdot - 144}{2 \cdot 36}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 144}{2 (36)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 144}{2 \cdot 36}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 144}{36}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 144$ et $36$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $36$ à partir de $- 144$ .

$d = \frac{36 \cdot - 4}{36}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $36$ à partir de $36$ .

$d = \frac{36 \cdot - 4}{36 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{36 \cdot - 4}{36 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 4}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$d = - 4$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 288)}^{2}}{4 \cdot 36}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 288$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{82944}{4 \cdot 36}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $36$ .

$e = 0 - \frac{82944}{144}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $82944$ par $144$ .

$e = 0 - 1 \cdot 576$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $576$ .

$e = 0 - 576$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $576$ de $0$ .

$e = - 576$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $36 {(x - 4)}^{2} - 576$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 576$

Étape 1.3

Remplacez $36 x^{2} - 288 x$ par $36 {(x - 4)}^{2} - 576$ dans l’équation $36 x^{2} - 25 y^{2} - 288 x - 100 y = - 1376$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 576 - 25 y^{2} - 100 y = - 1376$

Étape 1.4

Déplacez $- 576$ du côté droit de l’équation en ajoutant $576$ des deux côtés.

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 y^{2} - 100 y = - 1376 + 576$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- 25 y^{2} - 100 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 100$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (- 25)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 50}{- 25}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 50$ et $- 25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $- 25$ à partir de $- 50$ .

$d = \frac{- 25 (2)}{- 25}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $- 25$ à partir de $- 25$ .

$d = \frac{- 25 \cdot 2}{- 25 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 25 \cdot 2}{- 25 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$d = 2$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot - 25}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $- 100$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $10000$ par $- 100$ .

$e = 0 - - 100$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $100$ .

$e = 100$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 25 {(y + 2)}^{2} + 100$ .

$- 25 {(y + 2)}^{2} + 100$

Étape 1.6

Remplacez $- 25 y^{2} - 100 y$ par $- 25 {(y + 2)}^{2} + 100$ dans l’équation $36 x^{2} - 25 y^{2} - 288 x - 100 y = - 1376$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 {(y + 2)}^{2} + 100 = - 1376 + 576$

Étape 1.7

Déplacez $100$ du côté droit de l’équation en ajoutant $100$ des deux côtés.

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 {(y + 2)}^{2} = - 1376 + 576 - 100$

Étape 1.8

Simplifiez $- 1376 + 576 - 100$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $- 1376$ et $576$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 {(y + 2)}^{2} = - 800 - 100$

Étape 1.8.2

Soustrayez $100$ de $- 800$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 {(y + 2)}^{2} = - 900$

Étape 1.9

Inversez le signe de chaque terme de l’équation afin que le terme du côté droit soit positif.

$- 36 {(x - 4)}^{2} + 25 {(y + 2)}^{2} = 900$

Étape 1.10

Divisez chaque terme par $900$ pour rendre le côté droit égal à un.

$- \frac{36 {(x - 4)}^{2}}{900} + \frac{25 {(y + 2)}^{2}}{900} = \frac{900}{900}$

Étape 1.11

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{25} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 6$

$b = 5$

$k = - 2$

$h = 4$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(4, - 2)$

Étape 5