Algèbre Exemples

$y = x^{2} - 9 x + 18$

Étape 1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} - 9 x + 18 = y$

Étape 2

Soustrayez $18$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 9 x = y - 18$

Étape 3

Complétez le carré.

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Étape 3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 9$

$c = 0 = y - 18$

Étape 3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e = y - 18$

Étape 3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 9}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$d = \frac{- 9}{2}$

Étape 3.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{9}{2}$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 9)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{81}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{81}{4}$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $\frac{81}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{81}{4}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4} = y - 18$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Ajoutez $\frac{81}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} = y - 18 + \frac{81}{4}$

Étape 4.2

Pour écrire $- 18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} = y - 18 \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{4}$

Étape 4.3

Associez $- 18$ et $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} = y + \frac{- 18 \cdot 4}{4} + \frac{81}{4}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} = y + \frac{- 18 \cdot 4 + 81}{4}$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 18$ par $4$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} = y + \frac{- 72 + 81}{4}$

Étape 4.5.2

Additionnez $- 72$ et $81$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} = y + \frac{9}{4}$

Étape 5

Factorisez.

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Étape 5.1

Pour écrire $y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} = y \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 5.2

Associez $y$ et $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{y \cdot 4}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{y \cdot 4 + 9}{4}$

Étape 5.4

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{4 y + 9}{4}$

Étape 5.5

Remettez les termes dans l’ordre.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{4} (4 y + 9)$