Algèbre Exemples

$3 x - 2 y + 3 z = 5$ , $3 x + 2 y + 4 z = - 4$ , $- 5 x + 5 y - 4 z = - 2$

Étape 1

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez le déterminant de la matrice des coefficients $[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & - 4 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Écrivez $[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & - 4 \end{array}]$ en notation de déterminant.

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.2

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments $0$ . S’il n’y a aucun élément $0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne $1$ par son cofacteur et ajoutez.

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Étape 2.2.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 2.2.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 2.2.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.2.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.2.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.2.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.2.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 2.2.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 2.2.9

Additionnez les termes entre eux.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$ .

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Étape 2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (2 \cdot - 4 - 5 \cdot 4) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$3 (- 8 - 5 \cdot 4) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 2.3.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$3 (- 8 - 20) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $20$ de $- 8$ .

$3 \cdot - 28 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$ .

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Étape 2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 28 + 2 (3 \cdot - 4 - (- 5 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$3 \cdot - 28 + 2 (- 12 - (- 5 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $- (- 5 \cdot 4)$ .

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Étape 2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$3 \cdot - 28 + 2 (- 12 - - 20) + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 2.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 20$ .

$3 \cdot - 28 + 2 (- 12 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $- 12$ et $20$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 2.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$ .

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Étape 2.5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 (3 \cdot 5 - (- 5 \cdot 2))$

Étape 2.5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 (15 - (- 5 \cdot 2))$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $- (- 5 \cdot 2)$ .

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Étape 2.5.2.1.2.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 (15 - - 10)$

Étape 2.5.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 (15 + 10)$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $15$ et $10$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 25$

Étape 2.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1.1

Multipliez $3$ par $- 28$ .

$- 84 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 25$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$- 84 + 16 + 3 \cdot 25$

Étape 2.6.1.3

Multipliez $3$ par $25$ .

$- 84 + 16 + 75$

Étape 2.6.2

Additionnez $- 84$ et $16$ .

$- 68 + 75$

Étape 2.6.3

Additionnez $- 68$ et $75$ .

$7$

$D = 7$

Étape 3

Comme le déterminant n’est pas $0$ , le système peut être résolu avec la règle de Cramer.

Étape 4

Déterminez la valeur de $x$ par la règle de Cramer, qui stipule que $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la colonne $1$ de la matrice des coefficients qui correspond aux coefficients $x$ du système par $[\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 & 3 \\ - 4 & 2 & 4 \\ - 2 & 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 4.2

Déterminez le déterminant.

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Étape 4.2.1

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Étape 4.2.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 4.2.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 4.2.1.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 4.2.1.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$5 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 4.2.1.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 4.2.1.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 4.2.1.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Étape 4.2.1.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Étape 4.2.1.9

Additionnez les termes entre eux.

$5 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Étape 4.2.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$ .

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Étape 4.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 (2 \cdot - 4 - 5 \cdot 4) + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$5 (- 8 - 5 \cdot 4) + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$5 (- 8 - 20) + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $20$ de $- 8$ .

$5 \cdot - 28 + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Étape 4.2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

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Étape 4.2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 28 + 2 (- 4 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.2.1.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$5 \cdot - 28 + 2 (16 - (- 2 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Étape 4.2.3.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot 4)$ .

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Étape 4.2.3.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$5 \cdot - 28 + 2 (16 - - 8) + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Étape 4.2.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$5 \cdot - 28 + 2 (16 + 8) + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Étape 4.2.3.2.2

Additionnez $16$ et $8$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Étape 4.2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$ .

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Étape 4.2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 (- 4 \cdot 5 - (- 2 \cdot 2))$

Étape 4.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.2.1.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 (- 20 - (- 2 \cdot 2))$

Étape 4.2.4.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot 2)$ .

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Étape 4.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 (- 20 - - 4)$

Étape 4.2.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 (- 20 + 4)$

Étape 4.2.4.2.2

Additionnez $- 20$ et $4$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 \cdot - 16$

Étape 4.2.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.5.1.1

Multipliez $5$ par $- 28$ .

$- 140 + 2 \cdot 24 + 3 \cdot - 16$

Étape 4.2.5.1.2

Multipliez $2$ par $24$ .

$- 140 + 48 + 3 \cdot - 16$

Étape 4.2.5.1.3

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$- 140 + 48 - 48$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $- 140$ et $48$ .

$- 92 - 48$

Étape 4.2.5.3

Soustrayez $48$ de $- 92$ .

$- 140$

$D_{x} = - 140$

Étape 4.3

Utilisez la formule pour résoudre $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 4.4

Remplacez $D$ par $7$ et $D_{x}$ par $- 140$ dans la formule.

$x = \frac{- 140}{7}$

Étape 4.5

Divisez $- 140$ par $7$ .

$x = - 20$

Étape 5

Déterminez la valeur de $y$ par la règle de Cramer, qui stipule que $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la colonne $2$ de la matrice des coefficients qui correspond aux coefficients $y$ du système par $[\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 3 & 5 & 3 \\ 3 & - 4 & 4 \\ - 5 & - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2

Déterminez le déterminant.

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Étape 5.2.1

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Étape 5.2.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.2.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 5.2.1.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.1.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$3 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.1.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.1.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$- 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.1.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2.1.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2.1.9

Additionnez les termes entre eux.

$3 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2.2

Évaluez $| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

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Étape 5.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (- 4 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 4)) - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.2.1.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$3 (16 - (- 2 \cdot 4)) - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot 4)$ .

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Étape 5.2.2.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$3 (16 - - 8) - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$3 (16 + 8) - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.2

Additionnez $16$ et $8$ .

$3 \cdot 24 - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$ .

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Étape 5.2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 24 - 5 (3 \cdot - 4 - (- 5 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$3 \cdot 24 - 5 (- 12 - (- 5 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.1.2

Multipliez $- (- 5 \cdot 4)$ .

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Étape 5.2.3.2.1.2.1

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$3 \cdot 24 - 5 (- 12 - - 20) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 20$ .

$3 \cdot 24 - 5 (- 12 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.2

Additionnez $- 12$ et $20$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 5.2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 (3 \cdot - 2 - (- 5 \cdot - 4))$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 (- 6 - (- 5 \cdot - 4))$

Étape 5.2.4.2.1.2

Multipliez $- (- 5 \cdot - 4)$ .

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Étape 5.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 5$ par $- 4$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 (- 6 - 1 \cdot 20)$

Étape 5.2.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 (- 6 - 20)$

Étape 5.2.4.2.2

Soustrayez $20$ de $- 6$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 \cdot - 26$

Étape 5.2.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.5.1.1

Multipliez $3$ par $24$ .

$72 - 5 \cdot 8 + 3 \cdot - 26$

Étape 5.2.5.1.2

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$72 - 40 + 3 \cdot - 26$

Étape 5.2.5.1.3

Multipliez $3$ par $- 26$ .

$72 - 40 - 78$

Étape 5.2.5.2

Soustrayez $40$ de $72$ .

$32 - 78$

Étape 5.2.5.3

Soustrayez $78$ de $32$ .

$- 46$

$D_{y} = - 46$

Étape 5.3

Utilisez la formule pour résoudre $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 5.4

Remplacez $D$ par $7$ et $D_{y}$ par $- 46$ dans la formule.

$y = \frac{- 46}{7}$

Étape 5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{46}{7}$

Étape 6

Déterminez la valeur de $z$ par la règle de Cramer, qui stipule que $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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Étape 6.1

Remplacez la colonne $3$ de la matrice des coefficients qui correspond aux coefficients $z$ du système par $[\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 & 5 \\ 3 & 2 & - 4 \\ - 5 & 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 6.2

Déterminez le déterminant.

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Étape 6.2.1

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Étape 6.2.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 6.2.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 6.2.1.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 6.2.1.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$3 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 6.2.1.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 6.2.1.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Étape 6.2.1.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 6.2.1.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 6.2.1.9

Additionnez les termes entre eux.

$3 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 5 & - 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 6.2.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 5 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 6.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (2 \cdot - 2 - 5 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$3 (- 4 - 5 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $- 4$ .

$3 (- 4 + 20) + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.2

Additionnez $- 4$ et $20$ .

$3 \cdot 16 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 6.2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 6.2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 16 + 2 (3 \cdot - 2 - (- 5 \cdot - 4)) + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.3.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$3 \cdot 16 + 2 (- 6 - (- 5 \cdot - 4)) + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2.1.2

Multipliez $- (- 5 \cdot - 4)$ .

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Étape 6.2.3.2.1.2.1

Multipliez $- 5$ par $- 4$ .

$3 \cdot 16 + 2 (- 6 - 1 \cdot 20) + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$3 \cdot 16 + 2 (- 6 - 20) + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2.2

Soustrayez $20$ de $- 6$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Étape 6.2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$ .

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Étape 6.2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 (3 \cdot 5 - (- 5 \cdot 2))$

Étape 6.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.4.2.1.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 (15 - (- 5 \cdot 2))$

Étape 6.2.4.2.1.2

Multipliez $- (- 5 \cdot 2)$ .

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Étape 6.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 (15 - - 10)$

Étape 6.2.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 (15 + 10)$

Étape 6.2.4.2.2

Additionnez $15$ et $10$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 \cdot 25$

Étape 6.2.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.5.1.1

Multipliez $3$ par $16$ .

$48 + 2 \cdot - 26 + 5 \cdot 25$

Étape 6.2.5.1.2

Multipliez $2$ par $- 26$ .

$48 - 52 + 5 \cdot 25$

Étape 6.2.5.1.3

Multipliez $5$ par $25$ .

$48 - 52 + 125$

Étape 6.2.5.2

Soustrayez $52$ de $48$ .

$- 4 + 125$

Étape 6.2.5.3

Additionnez $- 4$ et $125$ .

$121$

$D_{z} = 121$

Étape 6.3

Utilisez la formule pour résoudre $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Étape 6.4

Remplacez $D$ par $7$ et $D_{z}$ par $121$ dans la formule.

$z = \frac{121}{7}$

Étape 7

Indiquez la solution au système d’équations.

$x = - 20$

$y = - \frac{46}{7}$

$z = \frac{121}{7}$