Algèbre Exemples

$4 y^{2} + x - 32 y + 68 = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$4 y^{2} - 32 y + 68 = - x$

Étape 1.2

Soustrayez $68$ des deux côtés de l’équation.

$4 y^{2} - 32 y = - x - 68$

Étape 2

Complétez le carré.

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = - 32$

$c = 0 = - x - 68$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e = - x - 68$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 32$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (4)}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 16}{4}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $4$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}$

Étape 2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 4}{1}$

Étape 2.3.2.2.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$d = - 4$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $- 32$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

Étape 2.4.2.1.3

Divisez $1024$ par $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$e = 0 - 64$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $64$ de $0$ .

$e = - 64$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(y - 4)}^{2} - 64$ .

$4 {(y - 4)}^{2} - 64 = - x - 68$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Ajoutez $64$ aux deux côtés de l’équation.

$4 {(y - 4)}^{2} = - x - 68 + 64$

Étape 3.2

Additionnez $- 68$ et $64$ .

$4 {(y - 4)}^{2} = - x - 4$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $4 {(y - 4)}^{2} = - x - 4$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $4 {(y - 4)}^{2} = - x - 4$ par $4$ .

$\frac{4 {(y - 4)}^{2}}{4} = \frac{- x}{4} + \frac{- 4}{4}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 {(y - 4)}^{2}}{4} = \frac{- x}{4} + \frac{- 4}{4}$

Étape 4.2.1.2

Divisez ${(y - 4)}^{2}$ par $1$ .

${(y - 4)}^{2} = \frac{- x}{4} + \frac{- 4}{4}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

${(y - 4)}^{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 4}{4}$

Étape 4.3.1.2

Divisez $- 4$ par $4$ .

${(y - 4)}^{2} = - \frac{x}{4} - 1$

Étape 5

Factorisez.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{x}{4} - 1$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{x}{4}$ .

${(y - 4)}^{2} = - (\frac{x}{4}) - 1$

Étape 5.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

${(y - 4)}^{2} = - (\frac{x}{4}) - 1 (1)$

Étape 5.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\frac{x}{4}) - 1 (1)$ .

${(y - 4)}^{2} = - (\frac{x}{4} + 1)$

Étape 5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(y - 4)}^{2} = - (\frac{x}{4} + \frac{4}{4})$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(y - 4)}^{2} = - \frac{x + 4}{4}$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

${(y - 4)}^{2} = - (\frac{1}{4} (x + 4))$

Étape 5.5

Supprimez les parenthèses.

${(y - 4)}^{2} = - \frac{1}{4} (x + 4)$