Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $g (x) = \sqrt{2 + x}$

Étape 1

Déterminez le quotient des fonctions.

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Étape 1.1

Remplacez les indicateurs de fonctions par les fonctions réelles dans $\frac{f (x)}{g (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{2 + x}}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + x}}$

Étape 1.2.2

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$

Étape 1.2.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$

Étape 1.2.4

Multipliez $\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$ par $\frac{\sqrt{2 + x}}{\sqrt{2 + x}}$ .

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}} \cdot \frac{\sqrt{2 + x}}{\sqrt{2 + x}}$

Étape 1.2.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$ par $\frac{\sqrt{2 + x}}{\sqrt{2 + x}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} \sqrt{2 + x} \sqrt{2 + x}}$

Étape 1.2.5.2

Déplacez $\sqrt{2 + x}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} (\sqrt{2 + x} \sqrt{2 + x})}$

Étape 1.2.5.3

Élevez $\sqrt{2 + x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} ({\sqrt{2 + x}}^{1} \sqrt{2 + x})}$

Étape 1.2.5.4

Élevez $\sqrt{2 + x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} ({\sqrt{2 + x}}^{1} {\sqrt{2 + x}}^{1})}$

Étape 1.2.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {\sqrt{2 + x}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {\sqrt{2 + x}}^{2}}$

Étape 1.2.5.7

Réécrivez ${\sqrt{2 + x}}^{2}$ comme $2 + x$ .

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Étape 1.2.5.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 + x}$ comme ${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {({(2 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.5.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.5.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{1}}$

Étape 1.2.5.7.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} (2 + x)}$

Étape 2

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 + x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 + x \geq 0$

Étape 3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 2$

Étape 4

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} (2 + x)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} (2 + x) = 0$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 + x = 0$

Étape 5.2

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.2.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.2.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.2.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.3

Définissez $2 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.1

Définissez $2 + x$ égal à $0$ .

$2 + x = 0$

Étape 5.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (2 + x) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2$

Étape 6

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > - 2, x \neq 0}$

Étape 7