Algèbre Exemples

$f (x) = - 4 x^{2} - 20 x + 5$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - 4 x^{2} - 20 x + 5$ comme une équation.

$y = - 4 x^{2} - 20 x + 5$

Étape 2

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 4 x^{2} - 20 x + 5 = y$

Étape 3

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x^{2} - 20 x = y - 5$

Étape 4

Complétez le carré.

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Étape 4.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 4$

$b = - 20$

$c = 0 = y - 5$

Étape 4.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e = y - 5$

Étape 4.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 20}{2 \cdot - 4}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $2$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 20$ .

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot - 4}$

Étape 4.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 (- 4)}$

Étape 4.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot - 4}$

Étape 4.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 10}{- 4}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $- 4$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 10$ .

$d = \frac{- 2 (5)}{- 4}$

Étape 4.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

Étape 4.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

Étape 4.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{2}$

Étape 4.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 20)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Élevez $- 20$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{400}{4 \cdot - 4}$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$e = 0 - \frac{400}{- 16}$

Étape 4.4.2.1.3

Divisez $400$ par $- 16$ .

$e = 0 - - 25$

Étape 4.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 25$ .

$e = 0 + 25$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $0$ et $25$ .

$e = 25$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} + 25$ .

$- 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} + 25 = y - 5$

Étape 5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y - 5 - 25$

Étape 5.2

Soustrayez $25$ de $- 5$ .

$- 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y - 30$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $- 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y - 30$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $- 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y - 30$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2}}{- 4} = \frac{y}{- 4} + \frac{- 30}{- 4}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2}}{- 4} = \frac{y}{- 4} + \frac{- 30}{- 4}$

Étape 6.2.1.2

Divisez ${(x + \frac{5}{2})}^{2}$ par $1$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{y}{- 4} + \frac{- 30}{- 4}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{y}{4} + \frac{- 30}{- 4}$

Étape 6.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 30$ et $- 4$ .

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Étape 6.3.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 30$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{y}{4} + \frac{- 2 (15)}{- 4}$

Étape 6.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.1.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{y}{4} + \frac{- 2 \cdot 15}{- 2 \cdot 2}$

Étape 6.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{y}{4} + \frac{- 2 \cdot 15}{- 2 \cdot 2}$

Étape 6.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{y}{4} + \frac{15}{2}$

Étape 7

Factorisez.

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Étape 7.1

Pour écrire $\frac{15}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{y}{4} + \frac{15}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{15}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{y}{4} + \frac{15 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{y}{4} + \frac{15 \cdot 2}{4}$

Étape 7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- y + 15 \cdot 2}{4}$

Étape 7.4

Multipliez $15$ par $2$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- y + 30}{4}$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- (y) + 30}{4}$

Étape 7.6

Réécrivez $30$ comme $- 1 (- 30)$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- (y) - 1 (- 30)}{4}$

Étape 7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (- 30)$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- (y - 30)}{4}$

Étape 7.8

Placez le signe moins devant la fraction.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{y - 30}{4}$

Étape 7.9

Remettez les termes dans l’ordre.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - (\frac{1}{4} (y - 30))$

Étape 7.10

Supprimez les parenthèses.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{1}{4} (y - 30)$