Algèbre Exemples

$- 2 y^{2} + x - 4 y + 1 = 0$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2

Remplacez les valeurs $a = - 2$ , $b = - 4$ et $c = x + 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot (x + 1))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot (x + 1)$ .

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Étape 1.3.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 2 \cdot (x + 1)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 2 \cdot (x + 1)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 \cdot (x + 1))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 \cdot (x + 1))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 2 \cdot (x + 1))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4 - 2 \cdot (x + 1)$ .

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Étape 1.3.1.2.1

Remettez dans l’ordre $- 4$ et $- 2 \cdot (x + 1)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 2 (x + 1) - 4)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.2.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 2 (x + 1) - 2 \cdot 2)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.2.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x + 1) - 2 (2)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 2 (x + 1 + 2))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 2 (x + 3))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.5

Réécrivez $8 (x + 3)$ comme $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ .

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Étape 1.3.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.5.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{- 4}$

Étape 1.3.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{- 4}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}}{- 2}$

Étape 1.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Étape 1.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot (x + 1)$ .

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Étape 1.4.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 2 \cdot (x + 1)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 2 \cdot (x + 1)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 \cdot (x + 1))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 \cdot (x + 1))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 2 \cdot (x + 1))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4 - 2 \cdot (x + 1)$ .

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Étape 1.4.1.2.1

Remettez dans l’ordre $- 4$ et $- 2 \cdot (x + 1)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 2 (x + 1) - 4)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.2.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 2 (x + 1) - 2 \cdot 2)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.2.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x + 1) - 2 (2)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 2 (x + 1 + 2))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 2 (x + 3))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.5

Réécrivez $8 (x + 3)$ comme $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ .

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Étape 1.4.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.5.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{- 4}$

Étape 1.4.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{- 4}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}}{- 2}$

Étape 1.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Étape 1.4.5

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot (x + 1)$ .

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Étape 1.5.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 2 \cdot (x + 1)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 2 \cdot (x + 1)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 \cdot (x + 1))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 2 \cdot (x + 1))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 2 \cdot (x + 1))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4 - 2 \cdot (x + 1)$ .

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Étape 1.5.1.2.1

Remettez dans l’ordre $- 4$ et $- 2 \cdot (x + 1)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 2 (x + 1) - 4)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.2.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 2 (x + 1) - 2 \cdot 2)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.2.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x + 1) - 2 (2)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 2 (x + 1 + 2))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 2 (x + 3))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.5

Réécrivez $8 (x + 3)$ comme $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ .

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Étape 1.5.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.5.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{- 4}$

Étape 1.5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{- 4}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}}{- 2}$

Étape 1.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Étape 1.5.5

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Étape 1.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Étape 2

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{2 + \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ en deux fractions.

$y = - (\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2 (x + 3)}}{2})$

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Étape 4

Divisez $2$ par $2$ .

$y = - (1 + \frac{\sqrt{2 (x + 3)}}{2})$

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 \cdot 1 - \frac{\sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = - 1 - \frac{\sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Étape 7

Divisez la fraction $\frac{2 - \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ en deux fractions.

$y = - 1 - \frac{\sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

$y = - (\frac{2}{2} + \frac{- \sqrt{2 (x + 3)}}{2})$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Divisez $2$ par $2$ .

$y = - 1 - \frac{\sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

$y = - (1 + \frac{- \sqrt{2 (x + 3)}}{2})$

Étape 8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - 1 - \frac{\sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

$y = - (1 - \frac{\sqrt{2 (x + 3)}}{2})$

$y = - 1 - \frac{\sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

$y = - (1 - \frac{\sqrt{2 (x + 3)}}{2})$

Étape 9

Simplifiez en multipliant.

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 - \frac{\sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

$y = - 1 \cdot 1 + \frac{\sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Étape 9.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = - 1 - \frac{\sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

$y = - 1 + \frac{\sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

$y = - 1 - \frac{\sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

$y = - 1 + \frac{\sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - 1 - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (x + 3)})$

$y = - 1 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (x + 3)}$

Étape 11

Supprimez les parenthèses.

$y = - 1 - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (x + 3)}$

$y = - 1 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (x + 3)}$

Étape 12