Algèbre Exemples

$\frac{1}{8} x^{3} - \frac{1}{27} y^{3}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{8} x^{3}$ comme ${(\frac{1}{2} x)}^{3}$ .

${(\frac{1}{2} x)}^{3} - \frac{1}{27} y^{3}$

Étape 2

Réécrivez $\frac{1}{27} y^{3}$ comme ${(\frac{1}{3} y)}^{3}$ .

${(\frac{1}{2} x)}^{3} - {(\frac{1}{3} y)}^{3}$

Étape 3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - i^{3} = (a - i) (a^{2} + a i + i^{2})$ où $a = \frac{1}{2} x$ et $i = \frac{1}{3} y$ .

$(\frac{1}{2} x - (\frac{1}{3} y)) ({(\frac{1}{2} x)}^{2} + \frac{1}{2} x (\frac{1}{3} y) + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$(\frac{x}{2} - (\frac{1}{3} y)) ({(\frac{1}{2} x)}^{2} + \frac{1}{2} x (\frac{1}{3} y) + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Étape 4.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $y$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) ({(\frac{1}{2} x)}^{2} + \frac{1}{2} x (\frac{1}{3} y) + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Étape 4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) ({(\frac{x}{2})}^{2} + \frac{1}{2} x (\frac{1}{3} y) + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{1}{2} x (\frac{1}{3} y) + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Étape 4.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} x (\frac{1}{3} y) + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Étape 4.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x y + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Étape 4.7

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 4.7.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 3} x y + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Étape 4.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{6} x y + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Étape 4.8

Associez $\frac{1}{6}$ et $x$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{6} y + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Étape 4.9

Associez $\frac{x}{6}$ et $y$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{x y}{6} + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Étape 4.10

Associez $\frac{1}{3}$ et $y$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{x y}{6} + {(\frac{y}{3})}^{2})$

Étape 4.11

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{3}$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{x y}{6} + \frac{y^{2}}{3^{2}})$

Étape 4.12

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{x y}{6} + \frac{y^{2}}{9})$