Algèbre Exemples

$\csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) = \cot^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\cot^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\csc^{2} (x) - 1 - \tan^{2} (x)$

Étape 3

Factorisez.

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\csc^{2} (x) - 1^{2} - \tan^{2} (x)$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \csc (x)$ et $b = 1$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc (x) - 1) - \tan^{2} (x)$

Étape 4

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$(\csc (x) + 1) (\csc (x) - 1) - (\sec^{2} (x) - 1)$

Étape 5

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 5.1

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\csc (x) - 1) - (\sec^{2} (x) - 1)$

Étape 5.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1) - (\sec^{2} (x) - 1)$

Étape 5.3

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1) - ({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1)$

Étape 5.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1) - (\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Développez $(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - 1) + 1 (\frac{1}{\sin (x)} - 1) - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\sin (x)} - 1) - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Étape 6.1.2.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.1.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.1.1.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.1.2

Associez $\frac{1}{\sin (x)}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{- 1}{\sin (x)} + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.1.4

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{\sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${\sin (x)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.3.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{1}{\sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.5

Pour écrire $\frac{1}{\sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${\sin (x)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.1.2.6.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\sin (x) \sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.6.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.6.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} - 1 \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.9

Associez $- 1$ et $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.3.1

Additionnez $- \sin (x)$ et $\sin (x)$ .

$\frac{1 + 0 - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.3.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.3.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} - (\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Étape 6.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - - 1$

Étape 6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.2

Pour écrire $\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.3

Pour écrire $- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$ par $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.4.2

Multipliez $\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ par $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.1

Développez $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{(1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.6.2.1.2

Multipliez $- \sin (x)$ par $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.6.2.1.3

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.6.2.1.4

Multipliez $\sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 6.6.2.1.4.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x))) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.6.2.1.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.6.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.6.2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2}) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.6.2.2

Additionnez $- \sin (x)$ et $\sin (x)$ .

$\frac{(1 + 0 - {\sin (x)}^{2}) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.6.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(1 - {\sin (x)}^{2}) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.6.4

Multipliez ${\cos (x)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Étape 6.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{{\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Étape 6.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Étape 6.9

Simplifiez le numérateur.

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 7

Regardez maintenant le côté gauche de l’équation.

$\csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

Étape 8

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 8.1

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \sec^{2} (x)$

Étape 8.2

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 8.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 8.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 10

Soustrayez des fractions.

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Étape 10.1

Pour écrire $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 10.2

Pour écrire $- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 10.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 10.3.2

Multipliez $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ par $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 10.3.3

Réorganisez les facteurs de $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 10.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 11

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (x)$ et $b = \sin (x)$ .

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 12

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) = \cot^{2} (x) - \tan^{2} (x)$ est une identité