Algèbre Exemples

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez le déterminant.

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Étape 1.1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments $0$ . S’il n’y a aucun élément $0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne $1$ par son cofacteur et ajoutez.

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Étape 1.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 1.1.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$2 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.1.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.1.9

Additionnez les termes entre eux.

$2 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 1.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (2 \cdot 1 - 2 \cdot 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 (2 - 2 \cdot 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$2 (2 - 6) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez $6$ de $2$ .

$2 \cdot - 4 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 1.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 4 - 1 (1 \cdot 1 - 4 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 \cdot - 4 - 1 (1 - 4 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.3.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$2 \cdot - 4 - 1 (1 - 12) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.3.2.2

Soustrayez $12$ de $1$ .

$2 \cdot - 4 - 1 \cdot - 11 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$ .

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Étape 1.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 4 - 1 \cdot - 11 + 3 (1 \cdot 2 - 4 \cdot 2)$

Étape 1.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \cdot - 4 - 1 \cdot - 11 + 3 (2 - 4 \cdot 2)$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$2 \cdot - 4 - 1 \cdot - 11 + 3 (2 - 8)$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $8$ de $2$ .

$2 \cdot - 4 - 1 \cdot - 11 + 3 \cdot - 6$

Étape 1.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 8 - 1 \cdot - 11 + 3 \cdot - 6$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 11$ .

$- 8 + 11 + 3 \cdot - 6$

Étape 1.5.1.3

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$- 8 + 11 - 18$

Étape 1.5.2

Additionnez $- 8$ et $11$ .

$3 - 18$

Étape 1.5.3

Soustrayez $18$ de $3$ .

$- 15$

Étape 2

Comme le déterminant est non nul, l’inverse existe.

Étape 3

Définissez une matrice $3 \times 6$ où la moitié de gauche est la matrice d’origine et la moitié de droite est la matrice identité.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

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Étape 4.1.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.2

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

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Étape 4.2.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 2 - \frac{1}{2} & 3 - \frac{3}{2} & 0 - \frac{1}{2} & 1 - 0 & 0 - 0 \\ 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.3

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

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Étape 4.3.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 (\frac{1}{2}) & 1 - 4 (\frac{3}{2}) & 0 - 4 (\frac{1}{2}) & 0 - 4 \cdot 0 & 1 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.4

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{2}{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{2}{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} & \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} & \frac{2}{3} (- \frac{1}{2}) & \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.5

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $- \frac{1}{5}$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

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Étape 4.5.1

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $- \frac{1}{5}$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 2 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \end{array}]$

Étape 4.6

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

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Étape 4.6.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & - \frac{1}{3} - \frac{2}{5} & \frac{2}{3} - 0 & 0 + \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \end{array}]$

Étape 4.6.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{11}{15} & \frac{2}{3} & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \end{array}]$

Étape 4.7

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

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Étape 4.7.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{5} & 0 - \frac{3}{2} \cdot 0 & 0 - \frac{3}{2} (- \frac{1}{5}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{11}{15} & \frac{2}{3} & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \end{array}]$

Étape 4.7.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{10} & 0 & \frac{3}{10} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{11}{15} & \frac{2}{3} & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \end{array}]$

Étape 4.8

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 4.8.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{10} - \frac{1}{2} (- \frac{11}{15}) & 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} & \frac{3}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{11}{15} & \frac{2}{3} & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \end{array}]$

Étape 4.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{4}{15} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{11}{15} & \frac{2}{3} & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \end{array}]$

Étape 5

La moitié droite de la forme d’échelon en ligne réduite est l’inverse.

$[\begin{array}{c} \frac{4}{15} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \\ - \frac{11}{15} & \frac{2}{3} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \end{array}]$