Algèbre Exemples

${(1 + \cot (x))}^{2} = \csc^{2} (x) + 2 \cot (x)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\csc^{2} (x) + 2 \cot (x)$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$1 + \cot^{2} (x) + 2 \cot (x)$

Étape 3

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 3.1

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + 2 \cot (x)$

Étape 3.2

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $2$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.2

Pour écrire $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${\sin (x)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 4.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Étape 4.3.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Étape 4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Étape 4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2} + 2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.5

Factorisez $\cos (x)$ à partir de ${\cos (x)}^{2} + 2 \cos (x) \sin (x)$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de ${\cos (x)}^{2}$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.5.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.5.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (2 \sin (x))$ .

$1 + \frac{\cos (x) (\cos (x) + 2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) (\cos (x) + 2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + \cos (x) (\cos (x) + 2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.8

Simplifiez le numérateur.

$\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$ comme ${(1 + \cot (x))}^{2}$ .

${(1 + \cot (x))}^{2}$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

${(1 + \cot (x))}^{2} = \csc^{2} (x) + 2 \cot (x)$ est une identité