Algèbre Exemples

$5$ , $- \frac{1}{3}$ , $0$

Étape 1

Les racines sont les points où le graphe croise l’axe des x $(y = 0)$ .

$y = 0$ aux racines

Étape 2

La racine sur $x = 5$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (5) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - 5$

Étape 3

La racine sur $x = - \frac{1}{3}$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (- \frac{1}{3}) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x + \frac{1}{3}$

Étape 4

La racine sur $x = 0$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (0) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x$

Étape 5

Associez tous les facteurs en une équation unique.

$y = (x - 5) (x + \frac{1}{3}) (x)$

Étape 6

Multipliez tous les facteurs pour simplifier l’équation $y = (x - 5) (x + \frac{1}{3}) (x)$ .

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Étape 6.1

Développez $(x - 5) (x + \frac{1}{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x (x + \frac{1}{3}) - 5 (x + \frac{1}{3})) x$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) - 5 (x + \frac{1}{3})) x$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) - 5 x - 5 (\frac{1}{3})) x$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = (x^{2} + x (\frac{1}{3}) - 5 x - 5 (\frac{1}{3})) x$

Étape 6.2.1.2

Associez $x$ et $\frac{1}{3}$ .

$y = (x^{2} + \frac{x}{3} - 5 x - 5 (\frac{1}{3})) x$

Étape 6.2.1.3

Associez $- 5$ et $\frac{1}{3}$ .

$y = (x^{2} + \frac{x}{3} - 5 x + \frac{- 5}{3}) x$

Étape 6.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = (x^{2} + \frac{x}{3} - 5 x - \frac{5}{3}) x$

Étape 6.2.2

Pour écrire $- 5 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = (x^{2} + \frac{x}{3} - 5 x \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{3}) x$

Étape 6.2.3

Associez $- 5 x$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{- 5 x \cdot 3}{3} - \frac{5}{3}) x$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = (x^{2} + \frac{x - 5 x \cdot 3}{3} - \frac{5}{3}) x$

Étape 6.2.5

Pour écrire $x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = (x^{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x - 5 x \cdot 3}{3} - \frac{5}{3}) x$

Étape 6.2.6

Associez $x^{2}$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = (\frac{x^{2} \cdot 3}{3} + \frac{x - 5 x \cdot 3}{3} - \frac{5}{3}) x$

Étape 6.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = (\frac{x^{2} \cdot 3 + x - 5 x \cdot 3}{3} - \frac{5}{3}) x$

Étape 6.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x^{2} \cdot 3 + x - 5 x \cdot 3 - 5}{3} \cdot x$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = \frac{3 \cdot x^{2} + x - 5 x \cdot 3 - 5}{3} \cdot x$

Étape 6.3.2

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$y = \frac{3 x^{2} + x - 15 x - 5}{3} \cdot x$

Étape 6.3.3

Soustrayez $15 x$ de $x$ .

$y = \frac{3 x^{2} - 14 x - 5}{3} \cdot x$

Étape 6.3.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.3.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ et dont la somme est $b = - 14$ .

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Étape 6.3.4.1.1

Factorisez $- 14$ à partir de $- 14 x$ .

$y = \frac{3 x^{2} - 14 x - 5}{3} \cdot x$

Étape 6.3.4.1.2

Réécrivez $- 14$ comme $1$ plus $- 15$

$y = \frac{3 x^{2} + (1 - 15) x - 5}{3} \cdot x$

Étape 6.3.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 x^{2} + 1 x - 15 x - 5}{3} \cdot x$

Étape 6.3.4.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \frac{3 x^{2} + x - 15 x - 5}{3} \cdot x$

Étape 6.3.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.3.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{(3 x^{2} + x) - 15 x - 5}{3} \cdot x$

Étape 6.3.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{x (3 x + 1) - 5 (3 x + 1)}{3} \cdot x$

Étape 6.3.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 1$ .

$y = \frac{(3 x + 1) (x - 5)}{3} \cdot x$

Étape 6.4

Associez les fractions.

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Étape 6.4.1

Associez $\frac{(3 x + 1) (x - 5)}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{(3 x + 1) (x - 5) x}{3}$

Étape 6.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(3 x + 1) (x - 5) x}{3}$ .

$y = \frac{x (3 x + 1) (x - 5)}{3}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(x (3 x) + x \cdot 1) (x - 5)}{3}$

Étape 6.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{(3 x \cdot x + x \cdot 1) (x - 5)}{3}$

Étape 6.7

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \frac{(3 x \cdot x + x) (x - 5)}{3}$

Étape 6.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.8.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{(3 (x \cdot x) + x) (x - 5)}{3}$

Étape 6.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{(3 x^{2} + x) (x - 5)}{3}$

Étape 6.9

Développez $(3 x^{2} + x) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 x^{2} (x - 5) + x (x - 5)}{3}$

Étape 6.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot - 5 + x (x - 5)}{3}$

Étape 6.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot - 5 + x \cdot x + x \cdot - 5}{3}$

Étape 6.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.10.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.10.1.1.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{3 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 5 + x \cdot x + x \cdot - 5}{3}$

Étape 6.10.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.10.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{3 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 5 + x \cdot x + x \cdot - 5}{3}$

Étape 6.10.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{3 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 5 + x \cdot x + x \cdot - 5}{3}$

Étape 6.10.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{3 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 5 + x \cdot x + x \cdot - 5}{3}$

Étape 6.10.1.2

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$y = \frac{3 x^{3} - 15 x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 5}{3}$

Étape 6.10.1.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{3 x^{3} - 15 x^{2} + x^{2} + x \cdot - 5}{3}$

Étape 6.10.1.4

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{3 x^{3} - 15 x^{2} + x^{2} - 5 x}{3}$

Étape 6.10.2

Additionnez $- 15 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 5 x}{3}$

Étape 6.11

Divisez la fraction $\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 5 x}{3}$ en deux fractions.

$y = \frac{3 x^{3} - 14 x^{2}}{3} + \frac{- 5 x}{3}$

Étape 6.12

Divisez la fraction $\frac{3 x^{3} - 14 x^{2}}{3}$ en deux fractions.

$y = \frac{3 x^{3}}{3} + \frac{- 14 x^{2}}{3} + \frac{- 5 x}{3}$

Étape 6.13

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.13.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{3 x^{3}}{3} + \frac{- 14 x^{2}}{3} + \frac{- 5 x}{3}$

Étape 6.13.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 14 x^{2}}{3} + \frac{- 5 x}{3}$

Étape 6.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = x^{3} - \frac{14 x^{2}}{3} + \frac{- 5 x}{3}$

Étape 6.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = x^{3} - \frac{14 x^{2}}{3} - \frac{5 x}{3}$

Étape 7