Algèbre Exemples

$7$ , $9$ , $12$ , $16$ , $21$

Étape 1

Déterminez les différences de premier niveau en déterminant les différences entre des termes consécutifs.

$2, 3, 4, 5$

Étape 2

Déterminez la différence de deuxième niveau en déterminant les différences entre les différences de premier niveau. Comme la différence de deuxième niveau est constante, la séquence est quadratique et donnée par $a_{n} = a n^{2} + b n + c$ .

$1$

Étape 3

Résolvez $a$ en définissant $2 a$ égal à la différence de deuxième niveau constante $1$ .

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Étape 3.1

Définissez $2 a$ égale à la différence de deuxième niveau constante $1$ .

$2 a = 1$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $2 a = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 a = 1$ par $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{1}{2}$

Étape 4

Résolvez $b$ en définissant $3 a + b$ égal à la première différence de premier niveau $2$ .

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Étape 4.1

Définissez $3 a + b$ égale à la première différence de premier niveau $2$ .

$3 a + b = 2$

Étape 4.2

Remplacez $a$ par $\frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2}) + b = 2$

Étape 4.3

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} + b = 2$

Étape 4.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.4.1

Soustrayez $\frac{3}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$b = 2 - \frac{3}{2}$

Étape 4.4.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$b = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 4.4.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$b = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 4.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$b = \frac{2 \cdot 2 - 3}{2}$

Étape 4.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$b = \frac{4 - 3}{2}$

Étape 4.4.5.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$b = \frac{1}{2}$

Étape 5

Résolvez $c$ en définissant $a + b + c$ égal au premier terme dans la séquence $7$ .

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Étape 5.1

Définissez $a + b + c$ égal au premier terme dans la séquence $7$ .

$a + b + c = 7$

Étape 5.2

Remplacez $a$ par $\frac{1}{2}$ et $b$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + c = 7$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + c$ .

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Étape 5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$c + \frac{1 + 1}{2} = 7$

Étape 5.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.2.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$c + \frac{2}{2} = 7$

Étape 5.3.2.2

Divisez $2$ par $2$ .

$c + 1 = 7$

Étape 5.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $c$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$c = 7 - 1$

Étape 5.4.2

Soustrayez $1$ de $7$ .

$c = 6$

Étape 6

Remplacez les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ dans la formule de séquence quadratique $a_{n} = a n^{2} + b n + c$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n + 6$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $n^{2}$ .

$a_{n} = \frac{n^{2}}{2} + \frac{1}{2} n + 6$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $n$ .

$a_{n} = \frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{2} + 6$

Étape 8

Remplacez dans la valeur de $n$ pour déterminer le $n$ ième terme.

$a_{6} = \frac{{(6)}^{2}}{2} + \frac{6}{2} + 6$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a_{6} = 6 + \frac{{(6)}^{2} + 6}{2}$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$a_{6} = 6 + \frac{36 + 6}{2}$

Étape 10.2

Additionnez $36$ et $6$ .

$a_{6} = 6 + \frac{42}{2}$

Étape 10.3

Divisez $42$ par $2$ .

$a_{6} = 6 + 21$

Étape 10.4

Additionnez $6$ et $21$ .

$a_{6} = 27$