Algèbre Exemples

${- \frac{4}{5}, \frac{5}{7}}$

Étape 1

$x = - \frac{4}{5}$ et $x = \frac{5}{7}$ sont les deux solutions réelles distinctes de l’équation quadratique, ce qui signifie que $x + \frac{4}{5}$ et $x - \frac{5}{7}$ sont les facteurs de l’équation quadratique.

$(x + \frac{4}{5}) (x - \frac{5}{7}) = 0$

Étape 2

Développez $(x + \frac{4}{5}) (x - \frac{5}{7})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - \frac{5}{7}) + \frac{4}{5} \cdot (x - \frac{5}{7}) = 0$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x (- \frac{5}{7}) + \frac{4}{5} \cdot (x - \frac{5}{7}) = 0$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x (- \frac{5}{7}) + \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5}{7}) = 0$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x (- \frac{5}{7}) + \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5}{7}) = 0$

Étape 3.1.2

Associez $x$ et $\frac{5}{7}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5}{7}) = 0$

Étape 3.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - \frac{5 \cdot x}{7} + \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5}{7}) = 0$

Étape 3.1.4

Associez $\frac{4}{5}$ et $x$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{7} + \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5}{7}) = 0$

Étape 3.1.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{7}$ dans le numérateur.

$x^{2} - \frac{5 x}{7} + \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{- 5}{7} = 0$

Étape 3.1.5.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{7} + \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5 (- 1)}{7} = 0$

Étape 3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - \frac{5 x}{7} + \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5 \cdot - 1}{7} = 0$

Étape 3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - \frac{5 x}{7} + \frac{4 x}{5} + 4 (\frac{- 1}{7}) = 0$

Étape 3.1.6

Associez $4$ et $\frac{- 1}{7}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{7} + \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{7} = 0$

Étape 3.1.7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{7} + \frac{4 x}{5} + \frac{- 4}{7} = 0$

Étape 3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} - \frac{5 x}{7} + \frac{4 x}{5} - \frac{4}{7} = 0$

Étape 3.2

Pour écrire $- \frac{5 x}{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{7} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x}{5} - \frac{4}{7} = 0$

Étape 3.3

Pour écrire $\frac{4 x}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{7} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x}{5} \cdot \frac{7}{7} - \frac{4}{7} = 0$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $35$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{5 x}{7}$ par $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} - \frac{5 x \cdot 5}{7 \cdot 5} + \frac{4 x}{5} \cdot \frac{7}{7} - \frac{4}{7} = 0$

Étape 3.4.2

Multipliez $7$ par $5$ .

$x^{2} - \frac{5 x \cdot 5}{35} + \frac{4 x}{5} \cdot \frac{7}{7} - \frac{4}{7} = 0$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{4 x}{5}$ par $\frac{7}{7}$ .

$x^{2} - \frac{5 x \cdot 5}{35} + \frac{4 x \cdot 7}{5 \cdot 7} - \frac{4}{7} = 0$

Étape 3.4.4

Multipliez $5$ par $7$ .

$x^{2} - \frac{5 x \cdot 5}{35} + \frac{4 x \cdot 7}{35} - \frac{4}{7} = 0$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} + \frac{- 5 x \cdot 5 + 4 x \cdot 7}{35} - \frac{4}{7} = 0$

Étape 3.6

Pour écrire $x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{35}{35}$ .

$x^{2} \cdot \frac{35}{35} + \frac{- 5 x \cdot 5 + 4 x \cdot 7}{35} - \frac{4}{7} = 0$

Étape 3.7

Associez $x^{2}$ et $\frac{35}{35}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 35}{35} + \frac{- 5 x \cdot 5 + 4 x \cdot 7}{35} - \frac{4}{7} = 0$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 35 - 5 x \cdot 5 + 4 x \cdot 7}{35} - \frac{4}{7} = 0$

Étape 3.9

Pour écrire $- \frac{4}{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 35 - 5 x \cdot 5 + 4 x \cdot 7}{35} - \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{5} = 0$

Étape 3.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $35$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.10.1

Multipliez $\frac{4}{7}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 35 - 5 x \cdot 5 + 4 x \cdot 7}{35} - \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = 0$

Étape 3.10.2

Multipliez $7$ par $5$ .

$\frac{x^{2} \cdot 35 - 5 x \cdot 5 + 4 x \cdot 7}{35} - \frac{4 \cdot 5}{35} = 0$

Étape 3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 35 - 5 x \cdot 5 + 4 x \cdot 7 - 4 \cdot 5}{35} = 0$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Déplacez $35$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{35 \cdot x^{2} - 5 x \cdot 5 + 4 x \cdot 7 - 4 \cdot 5}{35} = 0$

Étape 4.2

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$\frac{35 x^{2} - 25 x + 4 x \cdot 7 - 4 \cdot 5}{35} = 0$

Étape 4.3

Multipliez $7$ par $4$ .

$\frac{35 x^{2} - 25 x + 28 x - 4 \cdot 5}{35} = 0$

Étape 4.4

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$\frac{35 x^{2} - 25 x + 28 x - 20}{35} = 0$

Étape 4.5

Additionnez $- 25 x$ et $28 x$ .

$\frac{35 x^{2} + 3 x - 20}{35} = 0$

Étape 4.6

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 35 \cdot - 20 = - 700$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 4.6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{35 x^{2} + 3 (x) - 20}{35} = 0$

Étape 4.6.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 25$ plus $28$

$\frac{35 x^{2} + (- 25 + 28) x - 20}{35} = 0$

Étape 4.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{35 x^{2} - 25 x + 28 x - 20}{35} = 0$

Étape 4.6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(35 x^{2} - 25 x) + 28 x - 20}{35} = 0$

Étape 4.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{5 x (7 x - 5) + 4 (7 x - 5)}{35} = 0$

Étape 4.6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $7 x - 5$ .

$\frac{(7 x - 5) (5 x + 4)}{35} = 0$

Étape 5

Développez $(7 x - 5) (5 x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x (5 x + 4) - 5 (5 x + 4)}{35} = 0$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x (5 x) + 7 x \cdot 4 - 5 (5 x + 4)}{35} = 0$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x (5 x) + 7 x \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot 4}{35} = 0$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{7 \cdot (5 x \cdot x) + 7 x \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot 4}{35} = 0$

Étape 6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{7 \cdot (5 (x \cdot x)) + 7 x \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot 4}{35} = 0$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{7 \cdot (5 x^{2}) + 7 x \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot 4}{35} = 0$

Étape 6.1.3

Multipliez $7$ par $5$ .

$\frac{35 x^{2} + 7 x \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot 4}{35} = 0$

Étape 6.1.4

Multipliez $4$ par $7$ .

$\frac{35 x^{2} + 28 x - 5 (5 x) - 5 \cdot 4}{35} = 0$

Étape 6.1.5

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$\frac{35 x^{2} + 28 x - 25 x - 5 \cdot 4}{35} = 0$

Étape 6.1.6

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$\frac{35 x^{2} + 28 x - 25 x - 20}{35} = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $25 x$ de $28 x$ .

$\frac{35 x^{2} + 3 x - 20}{35} = 0$

Étape 7

Divisez la fraction $\frac{35 x^{2} + 3 x - 20}{35}$ en deux fractions.

$\frac{35 x^{2} + 3 x}{35} + \frac{- 20}{35} = 0$

Étape 8

Divisez la fraction $\frac{35 x^{2} + 3 x}{35}$ en deux fractions.

$\frac{35 x^{2}}{35} + \frac{3 x}{35} + \frac{- 20}{35} = 0$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $35$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{35 x^{2}}{35} + \frac{3 x}{35} + \frac{- 20}{35} = 0$

Étape 9.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{35} + \frac{- 20}{35} = 0$

Étape 10

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $35$ .

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Étape 10.1

Factorisez $5$ à partir de $- 20$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{35} + \frac{5 (- 4)}{35} = 0$

Étape 10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.1

Factorisez $5$ à partir de $35$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{35} + \frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 7} = 0$

Étape 10.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{3 x}{35} + \frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 7} = 0$

Étape 10.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + \frac{3 x}{35} + \frac{- 4}{7} = 0$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} + \frac{3 x}{35} - \frac{4}{7} = 0$

Étape 12

L’équation quadratique standard en utilisant l’ensemble de solutions donné ${- \frac{4}{5}, \frac{5}{7}}$ est $y = x^{2} + \frac{3 x}{35} - \frac{4}{7}$ .

$y = x^{2} + \frac{3 x}{35} - \frac{4}{7}$

Étape 13