Algèbre Exemples

$3 - \frac{\sqrt{21}}{3}$ , $3 + \frac{\sqrt{21}}{3}$

Étape 1

$x = 3 - \frac{\sqrt{21}}{3}$ et $x = 3 + \frac{\sqrt{21}}{3}$ sont les deux solutions réelles distinctes de l’équation quadratique, ce qui signifie que $x - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3}$ et $x - 3 + \frac{\sqrt{21}}{3}$ sont les facteurs de l’équation quadratique.

$(x - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3}) (x - 3 + \frac{\sqrt{21}}{3}) = 0$

Étape 2

Développez $(x - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3}) (x - 3 + \frac{\sqrt{21}}{3})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + x (\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} x - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 3 + x \frac{\sqrt{21}}{3} - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} x - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

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Étape 3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \frac{\sqrt{21}}{3}$ et $- \frac{\sqrt{21}}{3} x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 + \frac{\sqrt{21}}{3} x - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} x - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Étape 3.1.2

Soustrayez $\frac{\sqrt{21}}{3} x$ de $\frac{\sqrt{21}}{3} x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 0 - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Étape 3.1.3

Additionnez $x \cdot x + x \cdot - 3$ et $0$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Étape 3.2.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 + 3 (- 1) (\frac{\sqrt{21}}{3}) - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Étape 3.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 + 3 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{21}}{3}) - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Étape 3.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - 1 \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Étape 3.2.5

Réécrivez $- 1 \sqrt{21}$ comme $- \sqrt{21}$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Étape 3.2.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ dans le numérateur.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \frac{- \sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Étape 3.2.6.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \frac{- \sqrt{21}}{3} \cdot (3 (- 1)) - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Étape 3.2.6.3

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \frac{- \sqrt{21}}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Étape 3.2.6.4

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} - \sqrt{21} \cdot - 1 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Étape 3.2.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + 1 \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Étape 3.2.8

Multipliez $\sqrt{21}$ par $1$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Étape 3.2.9

Multipliez $- \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

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Étape 3.2.9.1

Multipliez $\frac{\sqrt{21}}{3}$ par $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} = 0$

Étape 3.2.9.2

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} = 0$

Étape 3.2.9.3

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} = 0$

Étape 3.2.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} = 0$

Étape 3.2.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3 \cdot 3} = 0$

Étape 3.2.9.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{{\sqrt{21}}^{2}}{9} = 0$

Étape 3.2.10

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

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Étape 3.2.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} = 0$

Étape 3.2.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} = 0$

Étape 3.2.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{21^{\frac{2}{2}}}{9} = 0$

Étape 3.2.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{21^{\frac{2}{2}}}{9} = 0$

Étape 3.2.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{21}{9} = 0$

Étape 3.2.10.5

Évaluez l’exposant.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{21}{9} = 0$

Étape 3.2.11

Annulez le facteur commun à $21$ et $9$ .

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Étape 3.2.11.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{3 (7)}{9} = 0$

Étape 3.2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} = 0$

Étape 3.2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} = 0$

Étape 3.2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{7}{3} = 0$

Étape 3.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.3.1

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{7}{3}$ .

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $- \sqrt{21}$ et $\sqrt{21}$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 + 0 - \frac{7}{3} = 0$

Étape 3.3.1.2

Additionnez $x^{2} - 3 x - 3 x + 9$ et $0$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \frac{7}{3} = 0$

Étape 3.3.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 6 x + 9 - \frac{7}{3} = 0$

Étape 4

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - 6 x + 9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{7}{3} = 0$

Étape 5

Associez $9$ et $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - 6 x + \frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{7}{3} = 0$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} - 6 x + \frac{9 \cdot 3 - 7}{3} = 0$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$x^{2} - 6 x + \frac{27 - 7}{3} = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $7$ de $27$ .

$x^{2} - 6 x + \frac{20}{3} = 0$

Étape 8

L’équation quadratique standard en utilisant l’ensemble de solutions donné ${3 - \frac{\sqrt{21}}{3}, 3 + \frac{\sqrt{21}}{3}}$ est $y = x^{2} - 6 x + \frac{20}{3}$ .

$y = x^{2} - 6 x + \frac{20}{3}$

Étape 9