Algèbre Exemples

$[\begin{array}{c} 6 & 5 \\ 5 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} 6 & 5 \\ 5 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 6 x + 5 y \\ 5 x + 4 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]$

Étape 2

L’équation de matrice peut être écrite comme un ensemble d’équations.

$6 x + 5 y = 2$

$5 x + 4 y = 1$

Étape 3

Résolvez $x$ dans $6 x + 5 y = 2$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $5 y$ des deux côtés de l’équation.

$6 x = 2 - 5 y$

$5 x + 4 y = 1$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $6 x = 2 - 5 y$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 2 - 5 y$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{2}{6} + \frac{- 5 y}{6}$

$5 x + 4 y = 1$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{2}{6} + \frac{- 5 y}{6}$

$5 x + 4 y = 1$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{6} + \frac{- 5 y}{6}$

$5 x + 4 y = 1$

$x = \frac{2}{6} + \frac{- 5 y}{6}$

$5 x + 4 y = 1$

$x = \frac{2}{6} + \frac{- 5 y}{6}$

$5 x + 4 y = 1$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = \frac{2 (1)}{6} + \frac{- 5 y}{6}$

$5 x + 4 y = 1$

Étape 3.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} + \frac{- 5 y}{6}$

$5 x + 4 y = 1$

Étape 3.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} + \frac{- 5 y}{6}$

$5 x + 4 y = 1$

Étape 3.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{3} + \frac{- 5 y}{6}$

$5 x + 4 y = 1$

$x = \frac{1}{3} + \frac{- 5 y}{6}$

$5 x + 4 y = 1$

$x = \frac{1}{3} + \frac{- 5 y}{6}$

$5 x + 4 y = 1$

Étape 3.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$5 x + 4 y = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$5 x + 4 y = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$5 x + 4 y = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$5 x + 4 y = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$5 x + 4 y = 1$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $5 x + 4 y = 1$ par $\frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$ .

$5 (\frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}) + 4 y = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $5 (\frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}) + 4 y$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (\frac{1}{3}) + 5 (- \frac{5 y}{6}) + 4 y = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 4.2.1.1.2

Associez $5$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3} + 5 (- \frac{5 y}{6}) + 4 y = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 4.2.1.1.3

Multipliez $5 (- \frac{5 y}{6})$ .

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Étape 4.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{5}{3} - 5 \frac{5 y}{6} + 4 y = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 4.2.1.1.3.2

Associez $- 5$ et $\frac{5 y}{6}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{- 5 (5 y)}{6} + 4 y = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 4.2.1.1.3.3

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$\frac{5}{3} + \frac{- 25 y}{6} + 4 y = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$\frac{5}{3} + \frac{- 25 y}{6} + 4 y = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 4.2.1.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{3} - \frac{25 y}{6} + 4 y = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$\frac{5}{3} - \frac{25 y}{6} + 4 y = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 4.2.1.2

Pour écrire $4 y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{3} - \frac{25 y}{6} + 4 y \cdot \frac{6}{6} = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 4.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1.3.1

Associez $4 y$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{3} - \frac{25 y}{6} + \frac{4 y \cdot 6}{6} = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 4.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{3} + \frac{- 25 y + 4 y \cdot 6}{6} = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$\frac{5}{3} + \frac{- 25 y + 4 y \cdot 6}{6} = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 4.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.4.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- 25 y + 4 y \cdot 6$ .

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Étape 4.2.1.4.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- 25 y$ .

$\frac{5}{3} + \frac{y \cdot - 25 + 4 y \cdot 6}{6} = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 4.2.1.4.1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $4 y \cdot 6$ .

$\frac{5}{3} + \frac{y \cdot - 25 + y (4 \cdot 6)}{6} = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 4.2.1.4.1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot - 25 + y (4 \cdot 6)$ .

$\frac{5}{3} + \frac{y (- 25 + 4 \cdot 6)}{6} = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$\frac{5}{3} + \frac{y (- 25 + 4 \cdot 6)}{6} = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 4.2.1.4.1.2

Multipliez $4$ par $6$ .

$\frac{5}{3} + \frac{y (- 25 + 24)}{6} = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 4.2.1.4.1.3

Additionnez $- 25$ et $24$ .

$\frac{5}{3} + \frac{y \cdot - 1}{6} = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$\frac{5}{3} + \frac{y \cdot - 1}{6} = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 4.2.1.4.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot y}{6} = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 4.2.1.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{3} - \frac{y}{6} = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$\frac{5}{3} - \frac{y}{6} = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$\frac{5}{3} - \frac{y}{6} = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$\frac{5}{3} - \frac{y}{6} = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$\frac{5}{3} - \frac{y}{6} = 1$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 5

Résolvez $y$ dans $\frac{5}{3} - \frac{y}{6} = 1$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $\frac{5}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{y}{6} = 1 - \frac{5}{3}$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 5.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{y}{6} = \frac{3}{3} - \frac{5}{3}$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{y}{6} = \frac{3 - 5}{3}$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 5.1.4

Soustrayez $5$ de $3$ .

$- \frac{y}{6} = \frac{- 2}{3}$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 5.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y}{6} = - \frac{2}{3}$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$- \frac{y}{6} = - \frac{2}{3}$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 6$ .

$- 6 (- \frac{y}{6}) = - 6 (- \frac{2}{3})$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 5.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Simplifiez $- 6 (- \frac{y}{6})$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{6}$ dans le numérateur.

$- 6 \frac{- y}{6} = - 6 (- \frac{2}{3})$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 5.3.1.1.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$6 (- 1) (\frac{- y}{6}) = - 6 (- \frac{2}{3})$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 5.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$6 \cdot (- 1 \frac{- y}{6}) = - 6 (- \frac{2}{3})$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 5.3.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$y = - 6 (- \frac{2}{3})$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$y = - 6 (- \frac{2}{3})$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 5.3.1.1.2

Multipliez.

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Étape 5.3.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - 6 (- \frac{2}{3})$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 5.3.1.1.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - 6 (- \frac{2}{3})$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$y = - 6 (- \frac{2}{3})$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$y = - 6 (- \frac{2}{3})$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$y = - 6 (- \frac{2}{3})$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez $- 6 (- \frac{2}{3})$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$y = - 6 (\frac{- 2}{3})$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 5.3.2.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$y = 3 (- 2) (\frac{- 2}{3})$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 5.3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$y = 3 \cdot (- 2 (\frac{- 2}{3}))$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 5.3.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$y = - 2 \cdot - 2$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$y = - 2 \cdot - 2$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y = 4$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$y = 4$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$y = 4$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$y = 4$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

$y = 4$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $4$ dans chaque équation.

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Étape 6.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{1}{3} - \frac{5 y}{6}$ par $4$ .

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 (4)}{6}$

$y = 4$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

Simplifiez $\frac{1}{3} - \frac{5 (4)}{6}$ .

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 6.2.1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $5 (4)$ .

$x = \frac{1}{3} - \frac{2 (5 \cdot (2))}{6}$

$y = 4$

Étape 6.2.1.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = \frac{1}{3} - \frac{2 (5 \cdot (2))}{2 (3)}$

$y = 4$

Étape 6.2.1.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{1}{3} - \frac{2 (5 \cdot (2))}{2 \cdot 3}$

$y = 4$

Étape 6.2.1.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 \cdot (2)}{3}$

$y = 4$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 \cdot (2)}{3}$

$y = 4$

$x = \frac{1}{3} - \frac{5 \cdot (2)}{3}$

$y = 4$

Étape 6.2.1.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$x = \frac{1}{3} - \frac{10}{3}$

$y = 4$

$x = \frac{1}{3} - \frac{10}{3}$

$y = 4$

Étape 6.2.1.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{1 - 10}{3}$

$y = 4$

Étape 6.2.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1.2.2.1

Soustrayez $10$ de $1$ .

$x = \frac{- 9}{3}$

$y = 4$

Étape 6.2.1.2.2.2

Divisez $- 9$ par $3$ .

$x = - 3$

$y = 4$

$x = - 3$

$y = 4$

$x = - 3$

$y = 4$

$x = - 3$

$y = 4$

$x = - 3$

$y = 4$

$x = - 3$

$y = 4$

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

$x = - 3, y = 4$