Algèbre Exemples

${(2 x)}^{2} - 3 y^{2} + 4 x = - 1$ $y = 2$

Étape 1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $2$ dans chaque équation.

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Étape 1.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans ${(2 x)}^{2} - 3 y^{2} + 4 x = - 1$ par $2$ .

${(2 x)}^{2} - 3 {(2)}^{2} + 4 x = - 1$

$y = 2$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$2^{2} x^{2} - 3 {(2)}^{2} + 4 x = - 1$

$y = 2$

Étape 1.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 x^{2} - 3 {(2)}^{2} + 4 x = - 1$

$y = 2$

Étape 1.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 x^{2} - 3 \cdot 4 + 4 x = - 1$

$y = 2$

Étape 1.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$4 x^{2} - 12 + 4 x = - 1$

$y = 2$

$4 x^{2} - 12 + 4 x = - 1$

$y = 2$

$4 x^{2} - 12 + 4 x = - 1$

$y = 2$

$4 x^{2} - 12 + 4 x = - 1$

$y = 2$

Étape 2

Résolvez $x$ dans $4 x^{2} - 12 + 4 x = - 1$ .

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Étape 2.1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 2.1.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 12 + 4 x + 1 = 0$

$y = 2$

Étape 2.1.2

Additionnez $- 12$ et $1$ .

$4 x^{2} + 4 x - 11 = 0$

$y = 2$

$4 x^{2} + 4 x - 11 = 0$

$y = 2$

Étape 2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$y = 2$

Étape 2.3

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = 4$ et $c = - 11$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 11)}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 11$ .

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Étape 2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.4.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 11$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 176}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 176}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.4.1.3

Additionnez $16$ et $176$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{192}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.4.1.4

Réécrivez $192$ comme $8^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.4.1.4.1

Factorisez $64$ à partir de $192$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.4.1.4.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

$x = \frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{8}$

$y = 2$

Étape 2.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

$x = \frac{- 1 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 11$ .

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Étape 2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 11$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 176}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 176}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.5.1.3

Additionnez $16$ et $176$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{192}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.5.1.4

Réécrivez $192$ comme $8^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.1.4.1

Factorisez $64$ à partir de $192$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.5.1.4.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

$x = \frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{8}$

$y = 2$

Étape 2.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Étape 2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Étape 2.5.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Étape 2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- 2 \sqrt{3})}{2}$

$y = 2$

Étape 2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- 2 \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - 2 \sqrt{3})}{2}$

$y = 2$

Étape 2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

$x = - \frac{1 - 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 11$ .

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Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 11$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 176}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 176}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.6.1.3

Additionnez $16$ et $176$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{192}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez $192$ comme $8^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.6.1.4.1

Factorisez $64$ à partir de $192$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.6.1.4.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

$x = \frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{8}$

$y = 2$

Étape 2.6.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Étape 2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Étape 2.6.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Étape 2.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (2 \sqrt{3})}{2}$

$y = 2$

Étape 2.6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (2 \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + 2 \sqrt{3})}{2}$

$y = 2$

Étape 2.6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

$x = - \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Étape 2.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - 2 \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

$x = - \frac{1 - 2 \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

$x = - \frac{1 - 2 \sqrt{3}}{2}, y = 2$

Étape 4

Résolvez le système d’équations.

$x = - \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{2}, y = 2$

Étape 5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(- \frac{1 - 2 \sqrt{3}}{2}, 2)$

$(- \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{2}, 2)$