Algèbre Exemples

$\frac{4}{5}$ , $\frac{8}{15}$ , $\frac{16}{45}$ , $\frac{32}{135}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $\frac{2}{3}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = \frac{2}{3}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = \frac{4}{5}$ et $r = \frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{4}{5} {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

Étape 4

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{4}{5} \cdot \frac{2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Étape 5

Associez.

$a_{n} = \frac{4 \cdot 2^{n - 1}}{5 \cdot 3^{n - 1}}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$a_{n} = \frac{2^{2} \cdot 2^{n - 1}}{5 \cdot 3^{n - 1}}$

Étape 6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a_{n} = \frac{2^{2 + n - 1}}{5 \cdot 3^{n - 1}}$

Étape 6.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$a_{n} = \frac{2^{n + 1}}{5 \cdot 3^{n - 1}}$

Étape 7

Remplacez dans la valeur de $n$ pour déterminer le $n$ ième terme.

$a_{5} = \frac{2^{(5) + 1}}{5 \cdot 3^{(5) - 1}}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Additionnez $5$ et $1$ .

$a_{5} = \frac{2^{6}}{5 \cdot 3^{5 - 1}}$

Étape 8.2

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$a_{5} = \frac{64}{5 \cdot 3^{5 - 1}}$

Étape 9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1

Soustrayez $1$ de $5$ .

$a_{5} = \frac{64}{5 \cdot 3^{4}}$

Étape 9.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$a_{5} = \frac{64}{5 \cdot 81}$

Étape 10

Multipliez $5$ par $81$ .

$a_{5} = \frac{64}{405}$