Algèbre Exemples

$\frac{1}{3}$ , $\frac{3}{12}$ , $\frac{9}{48}$ , $\frac{27}{192}$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $3$ et $12$ .

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Étape 1.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{3}, \frac{3 (1)}{12}, \frac{9}{48}, \frac{27}{192}$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{1}{3}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}, \frac{9}{48}, \frac{27}{192}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}, \frac{9}{48}, \frac{27}{192}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{9}{48}, \frac{27}{192}$

Étape 2

Annulez le facteur commun à $9$ et $48$ .

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Étape 2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3 (3)}{48}, \frac{27}{192}$

Étape 2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $48$ .

$\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 16}, \frac{27}{192}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 16}, \frac{27}{192}$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{16}, \frac{27}{192}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $27$ et $192$ .

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Étape 3.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{16}, \frac{3 (9)}{192}$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $192$ .

$\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{16}, \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 64}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{16}, \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 64}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{16}, \frac{9}{64}$

Étape 4

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $\frac{3}{4}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = \frac{3}{4}$

Étape 5

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 6

Remplacez les valeurs de $a_{1} = \frac{1}{3}$ et $r = \frac{3}{4}$ .

$a_{n} = \frac{1}{3} {(\frac{3}{4})}^{n - 1}$

Étape 7

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$a_{n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Étape 8

Associez.

$a_{n} = \frac{1 \cdot 3^{n - 1}}{3 \cdot 4^{n - 1}}$

Étape 9

Annulez le facteur commun à $3^{n - 1}$ et $3$ .

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Étape 9.1

Factorisez $3$ à partir de $1 \cdot 3^{n - 1}$ .

$a_{n} = \frac{3 (1 \cdot 3^{n - 2})}{3 \cdot 4^{n - 1}}$

Étape 9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 4^{n - 1}$ .

$a_{n} = \frac{3 (1 \cdot 3^{n - 2})}{3 (4^{n - 1})}$

Étape 9.2.2

Annulez le facteur commun.

$a_{n} = \frac{3 (1 \cdot 3^{n - 2})}{3 \cdot 4^{n - 1}}$

Étape 9.2.3

Réécrivez l’expression.

$a_{n} = \frac{1 \cdot 3^{n - 2}}{4^{n - 1}}$

Étape 10

Multipliez $3^{n - 2}$ par $1$ .

$a_{n} = \frac{3^{n - 2}}{4^{n - 1}}$

Étape 11

Remplacez dans la valeur de $n$ pour déterminer le $n$ ième terme.

$a_{5} = \frac{3^{(5) - 2}}{4^{(5) - 1}}$

Étape 12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1

Soustrayez $2$ de $5$ .

$a_{5} = \frac{3^{3}}{4^{5 - 1}}$

Étape 12.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$a_{5} = \frac{27}{4^{5 - 1}}$

Étape 13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.1

Soustrayez $1$ de $5$ .

$a_{5} = \frac{27}{4^{4}}$

Étape 13.2

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$a_{5} = \frac{27}{256}$