Algèbre Exemples

$y = \sqrt{x (x + 6)}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x (x + 6)}$ comme ${(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x (x + 6)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x (x + 6)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x (x + 6)$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Étape 4.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Étape 4.6

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Étape 4.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x (x + 6))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x (x + 6))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Étape 4.6.3

Placez ${(x (x + 6))}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + 6$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [x + 6] + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.8

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x (1 + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.8.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x (1 + 0) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.8.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x \cdot 1 + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.8.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.8.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x + (x + 6) \cdot 1)$

Étape 4.8.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.6.1

Multipliez $x + 6$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x + x + 6)$

Étape 4.8.6.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6)$

Étape 4.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.9.1

Appliquez la règle de produit à $x (x + 6)$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})} (2 x + 6)$

Étape 4.9.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6)$ .

$(2 x + 6) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.3

Multipliez $2 x + 6$ par $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 6}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 6}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.5

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (3)$ .

$\frac{2 (x + 3)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.7

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.9.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.9.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x + 3)}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.9.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 3}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{x + 3}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 3}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$