Algèbre Exemples

$\log (b x) - \log (b \cdot 5) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{b x}{b \cdot 5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{b x}{b \cdot 5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{x}{5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Déplacez $2$ à gauche de $b$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 \cdot b) - \log (b) (x - 3)$

Étape 2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - \log (b) x - \log (b) \cdot - 3$

Étape 2.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - \log (b) x + 3 \log (b)$

Étape 2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\log (2 b) - \log (b) x + 3 \log (b)$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - x \log (b) + 3 \log (b)$

Étape 2.2.2

Remettez dans l’ordre $\log (2 b)$ et $- x \log (b)$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b) + 3 \log (b)$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez $- x \log (b) + \log (2 b) + 3 \log (b)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Simplifiez $3 \log (b)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b) + \log (b^{3})$

Étape 3.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b \cdot b^{3})$

Étape 3.1.3

Multipliez $b$ par $b^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1

Déplacez $b^{3}$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 (b^{3} b))$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $b^{3}$ par $b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.2.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 (b^{3} b^{1}))$

Étape 3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b^{3 + 1})$

Étape 3.1.3.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b^{4})$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log (\frac{x}{5}) + x \log (b) - \log (2 b^{4}) = 0$

Étape 5

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \log (b) + \log (\frac{\frac{x}{5}}{2 b^{4}}) = 0$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x \log (b) + \log (\frac{x}{5} \cdot \frac{1}{2 b^{4}}) = 0$

Étape 6.2

Associez.

$x \log (b) + \log (\frac{x \cdot 1}{5 (2 b^{4})}) = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x \log (b) + \log (\frac{x}{5 \cdot (2 b^{4})}) = 0$

Étape 6.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$x \log (b) + \log (\frac{x}{10 b^{4}}) = 0$

Étape 7

Réécrivez $\log (\frac{x}{10 b^{4}}) = - x \log (b)$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{- x \log (b)} = \frac{x}{10 b^{4}}$

Étape 8

Résolvez $b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (10^{- x \log (b)}) = \ln (\frac{x}{10 b^{4}})$

Étape 8.2

Développez $\ln (10^{- x \log (b)})$ en déplaçant $- x \log (b)$ hors du logarithme.

$- x \log (b) \ln (10) = \ln (\frac{x}{10 b^{4}})$