Algèbre Exemples

$- \sqrt{2}$ , $5 i$

Étape 1

Les racines sont les points où le graphe croise l’axe des x $(y = 0)$ .

$y = 0$ aux racines

Étape 2

La racine sur $x = - \sqrt{2}$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (- \sqrt{2}) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x + \sqrt{2}$

Étape 3

La racine sur $x = 5 i$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (5 i) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - 5 i$

Étape 4

La racine sur $x = - 5 i$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (- 5 i) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x + 5 i$

Étape 5

Associez tous les facteurs en une équation unique.

$y = (x + \sqrt{2}) (x - 5 i) (x + 5 i)$

Étape 6

Multipliez tous les facteurs pour simplifier l’équation $y = (x + \sqrt{2}) (x - 5 i) (x + 5 i)$ .

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Étape 6.1

Développez $(x + \sqrt{2}) (x - 5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x (x - 5 i) + \sqrt{2} (x - 5 i)) (x + 5 i)$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot x + x (- 5 i) + \sqrt{2} (x - 5 i)) (x + 5 i)$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot x + x (- 5 i) + \sqrt{2} x + \sqrt{2} (- 5 i)) (x + 5 i)$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = (x^{2} + x (- 5 i) + \sqrt{2} x + \sqrt{2} (- 5 i)) (x + 5 i)$

Étape 6.3

Développez $(x^{2} + x (- 5 i) + \sqrt{2} x + \sqrt{2} (- 5 i)) (x + 5 i)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y = x^{2} x + x^{2} (5 i) + x (- 5 i) x + x (- 5 i) (5 i) + \sqrt{2} x \cdot x + \sqrt{2} x (5 i) + \sqrt{2} (- 5 i) x + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4

Simplifiez les termes.

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Étape 6.4.1

Associez les termes opposés dans $x^{2} x + x^{2} (5 i) + x (- 5 i) x + x (- 5 i) (5 i) + \sqrt{2} x \cdot x + \sqrt{2} x (5 i) + \sqrt{2} (- 5 i) x + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$ .

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Étape 6.4.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\sqrt{2} x (5 i)$ et $\sqrt{2} (- 5 i) x$ .

$y = x^{2} x + x^{2} (5 i) + x (- 5 i) x + x (- 5 i) (5 i) + \sqrt{2} x \cdot x + 5 i x \sqrt{2} - 5 i x \sqrt{2} + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4.1.2

Soustrayez $5 i x \sqrt{2}$ de $5 i x \sqrt{2}$ .

$y = x^{2} x + x^{2} (5 i) + x (- 5 i) x + x (- 5 i) (5 i) + \sqrt{2} x \cdot x + 0 + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4.1.3

Additionnez $x^{2} x + x^{2} (5 i) + x (- 5 i) x + x (- 5 i) (5 i) + \sqrt{2} x \cdot x$ et $0$ .

$y = x^{2} x + x^{2} (5 i) + x (- 5 i) x + x (- 5 i) (5 i) + \sqrt{2} x \cdot x + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.2.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.4.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = x^{2} x + x^{2} (5 i) + x (- 5 i) x + x (- 5 i) (5 i) + \sqrt{2} x \cdot x + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{2 + 1} + x^{2} (5 i) + x (- 5 i) x + x (- 5 i) (5 i) + \sqrt{2} x \cdot x + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4.2.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (5 i) + x (- 5 i) x + x (- 5 i) (5 i) + \sqrt{2} x \cdot x + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = x^{3} + 5 \cdot (x^{2} i) + x (- 5 i) x + x (- 5 i) (5 i) + \sqrt{2} x \cdot x + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4.2.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.2.3.1

Déplacez $x$ .

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x \cdot x (- 5 i) + x (- 5 i) (5 i) + \sqrt{2} x \cdot x + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4.2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + x (- 5 i) (5 i) + \sqrt{2} x \cdot x + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4.2.4

Multipliez $x (- 5 i) (5 i)$ .

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Étape 6.4.2.4.1

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + x (- 25 i) i + \sqrt{2} x \cdot x + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4.2.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + x (- 25 (i i)) + \sqrt{2} x \cdot x + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4.2.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + x (- 25 (i i)) + \sqrt{2} x \cdot x + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + x (- 25 i^{1 + 1}) + \sqrt{2} x \cdot x + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + x (- 25 i^{2}) + \sqrt{2} x \cdot x + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4.2.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + x (- 25 \cdot - 1) + \sqrt{2} x \cdot x + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4.2.6

Multipliez $- 25$ par $- 1$ .

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + x \cdot 25 + \sqrt{2} x \cdot x + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4.2.7

Déplacez $25$ à gauche de $x$ .

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + 25 \cdot x + \sqrt{2} x \cdot x + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4.2.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.2.8.1

Déplacez $x$ .

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + 25 x + \sqrt{2} (x \cdot x) + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4.2.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + 25 x + \sqrt{2} x^{2} + \sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$

Étape 6.4.2.9

Multipliez $\sqrt{2} (- 5 i) (5 i)$ .

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Étape 6.4.2.9.1

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + 25 x + \sqrt{2} x^{2} + \sqrt{2} (- 25 i) i$

Étape 6.4.2.9.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + 25 x + \sqrt{2} x^{2} + \sqrt{2} (- 25 (i i))$

Étape 6.4.2.9.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + 25 x + \sqrt{2} x^{2} + \sqrt{2} (- 25 (i i))$

Étape 6.4.2.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + 25 x + \sqrt{2} x^{2} + \sqrt{2} (- 25 i^{1 + 1})$

Étape 6.4.2.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + 25 x + \sqrt{2} x^{2} + \sqrt{2} (- 25 i^{2})$

Étape 6.4.2.10

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + 25 x + \sqrt{2} x^{2} + \sqrt{2} (- 25 \cdot - 1)$

Étape 6.4.2.11

Multipliez $- 25$ par $- 1$ .

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + 25 x + \sqrt{2} x^{2} + \sqrt{2} \cdot 25$

Étape 6.4.2.12

Déplacez $25$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$y = x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + 25 x + \sqrt{2} x^{2} + 25 \sqrt{2}$

Étape 6.4.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.4.3.1

Associez les termes opposés dans $x^{3} + 5 x^{2} i + x^{2} (- 5 i) + 25 x + \sqrt{2} x^{2} + 25 \sqrt{2}$ .

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Étape 6.4.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $5 x^{2} i$ et $x^{2} (- 5 i)$ .

$y = x^{3} + 5 i x^{2} - 5 i x^{2} + 25 x + \sqrt{2} x^{2} + 25 \sqrt{2}$

Étape 6.4.3.1.2

Soustrayez $5 i x^{2}$ de $5 i x^{2}$ .

$y = x^{3} + 0 + 25 x + \sqrt{2} x^{2} + 25 \sqrt{2}$

Étape 6.4.3.1.3

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$y = x^{3} + 25 x + \sqrt{2} x^{2} + 25 \sqrt{2}$

Étape 6.4.3.2

Déplacez $25 x$ .

$y = x^{3} + \sqrt{2} x^{2} + 25 x + 25 \sqrt{2}$

Étape 7