Algèbre Exemples

$\sec (x) (\csc (x) - 2 \sin (x)) = \cot (x) - \tan (x)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\cot (x) - \tan (x)$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \tan (x)$

Étape 2.2

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3

Soustrayez des fractions.

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Étape 3.1

Pour écrire $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2

Pour écrire $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sin (x) \cos (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.3.2

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 3.3.3

Réorganisez les facteurs de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 6

Soustrayez ${\sin (x)}^{2}$ de $- {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 7

Regardez maintenant le côté gauche de l’équation.

$\sec (x) (\csc (x) - 2 \sin (x))$

Étape 8

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 8.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} (\csc (x) - 2 \sin (x))$

Étape 8.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - 2 \sin (x))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- 2 \sin (x))$

Étape 9.2

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- 2 \sin (x))$

Étape 9.3

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)} (- 2 \sin (x))$ .

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Étape 9.3.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- 2}{\cos (x)} \sin (x)$

Étape 9.3.2

Associez $\frac{- 2}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 9.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 10

Soustrayez des fractions.

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Étape 10.1

Pour écrire $- \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 10.2

Multipliez $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 10.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 2 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 11

Multipliez $- 2 \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 12

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sec (x) (\csc (x) - 2 \sin (x)) = \cot (x) - \tan (x)$ est une identité