Algèbre Exemples

$\frac{j^{2} + 2 j}{j^{2} + 9 j + 14} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $j$ à partir de $j^{2} + 2 j$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $j$ à partir de $j^{2}$ .

$\frac{j \cdot j + 2 j}{j^{2} + 9 j + 14} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

Étape 1.1.2

Factorisez $j$ à partir de $2 j$ .

$\frac{j \cdot j + j \cdot 2}{j^{2} + 9 j + 14} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

Étape 1.1.3

Factorisez $j$ à partir de $j \cdot j + j \cdot 2$ .

$\frac{j (j + 2)}{j^{2} + 9 j + 14} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

Étape 1.2

Factorisez $j^{2} + 9 j + 14$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $14$ et dont la somme est $9$ .

$2, 7$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{j (j + 2)}{(j + 2) (j + 7)} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

Étape 1.3

Réduisez l’expression $\frac{j (j + 2)}{(j + 2) (j + 7)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{j (j + 2)}{(j + 2) (j + 7)} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{j}{j + 7} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

Étape 1.4

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{j}{j + 7} + \frac{1}{j^{2} - 7^{2}} = - 10$

Étape 1.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = j$ et $b = 7$ .

$\frac{j}{j + 7} + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} = - 10$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$j + 7, (j + 7) (j - 7), 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.5

Le facteur pour $j + 7$ est $j + 7$ lui-même.

$(j + 7) = j + 7$

$(j + 7)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.6

Le facteur pour $j - 7$ est $j - 7$ lui-même.

$(j - 7) = j - 7$

$(j - 7)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le plus petit multiple commun de $j + 7, j + 7, j - 7$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(j + 7) (j - 7)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{j}{j + 7} + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} = - 10$ par $(j + 7) (j - 7)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{j}{j + 7} + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} = - 10$ par $(j + 7) (j - 7)$ .

$\frac{j}{j + 7} ((j + 7) (j - 7)) + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $j + 7$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{j}{j + 7} ((j + 7) (j - 7)) + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$j (j - 7) + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$j \cdot j + j \cdot - 7 + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $j$ par $j$ .

$j^{2} + j \cdot - 7 + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

Étape 3.2.1.4

Déplacez $- 7$ à gauche de $j$ .

$j^{2} - 7 \cdot j + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

Étape 3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $(j + 7) (j - 7)$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$j^{2} - 7 j + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

Étape 3.2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Développez $(j + 7) (j - 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j (j - 7) + 7 (j - 7))$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j \cdot j + j \cdot - 7 + 7 (j - 7))$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j \cdot j + j \cdot - 7 + 7 j + 7 \cdot - 7)$

Étape 3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.2.1

Associez les termes opposés dans $j \cdot j + j \cdot - 7 + 7 j + 7 \cdot - 7$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $j \cdot - 7$ et $7 j$ .

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j \cdot j - 7 j + 7 j + 7 \cdot - 7)$

Étape 3.3.2.1.2

Additionnez $- 7 j$ et $7 j$ .

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j \cdot j + 0 + 7 \cdot - 7)$

Étape 3.3.2.1.3

Additionnez $j \cdot j$ et $0$ .

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j \cdot j + 7 \cdot - 7)$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.2.1

Multipliez $j$ par $j$ .

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j^{2} + 7 \cdot - 7)$

Étape 3.3.2.2.2

Multipliez $7$ par $- 7$ .

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j^{2} - 49)$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.3.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 j^{2} - 10 \cdot - 49$

Étape 3.3.2.3.2

Multipliez $- 10$ par $- 49$ .

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 j^{2} + 490$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $j$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Ajoutez $10 j^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$j^{2} - 7 j + 1 + 10 j^{2} = 490$

Étape 4.1.2

Additionnez $j^{2}$ et $10 j^{2}$ .

$11 j^{2} - 7 j + 1 = 490$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $490$ des deux côtés de l’équation.

$11 j^{2} - 7 j + 1 - 490 = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $490$ de $1$ .

$11 j^{2} - 7 j - 489 = 0$

Étape 4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4

Remplacez les valeurs $a = 11$ , $b = - 7$ et $c = - 489$ dans la formule quadratique et résolvez pour $j$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (11 \cdot - 489)}}{2 \cdot 11}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$j = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11 \cdot - 489}}{2 \cdot 11}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 11 \cdot - 489$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $11$ .

$j = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 44 \cdot - 489}}{2 \cdot 11}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $- 44$ par $- 489$ .

$j = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 21516}}{2 \cdot 11}$

Étape 4.5.1.3

Additionnez $49$ et $21516$ .

$j = \frac{7 \pm \sqrt{21565}}{2 \cdot 11}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $11$ .

$j = \frac{7 \pm \sqrt{21565}}{22}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$j = \frac{7 + \sqrt{21565}}{22}, \frac{7 - \sqrt{21565}}{22}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$j = \frac{7 + \sqrt{21565}}{22}, \frac{7 - \sqrt{21565}}{22}$

Forme décimale :

$j = 6.99319381 \dots, - 6.35683017 \dots$