Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{3} + \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{6}) (\sqrt{3} - \sqrt{6})}{(\sqrt{3} + \sqrt{6}) (\sqrt{3} - \sqrt{6})}$

Étape 3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{6}) (\sqrt{3} - \sqrt{6})}{{\sqrt{3}}^{2} - \sqrt{18} + \sqrt{18} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{6}) (\sqrt{3} - \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Élevez $\sqrt{3} - \sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} - \sqrt{6})}^{1} (\sqrt{3} - \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 5.2

Élevez $\sqrt{3} - \sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} - \sqrt{6})}^{1} {(\sqrt{3} - \sqrt{6})}^{1}}{- 3}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{3} - \sqrt{6})}^{1 + 1}}{- 3}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} - \sqrt{6})}^{2}}{- 3}$

Étape 6

Réécrivez ${(\sqrt{3} - \sqrt{6})}^{2}$ comme $(\sqrt{3} - \sqrt{6}) (\sqrt{3} - \sqrt{6})$ .

$\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{6}) (\sqrt{3} - \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 7

Développez $(\sqrt{3} - \sqrt{6}) (\sqrt{3} - \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{6}) - \sqrt{6} (\sqrt{3} - \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} (\sqrt{3} - \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 8

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 8.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{9} + \sqrt{3} (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 8.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 8.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 + \sqrt{3} (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 8.1.5

Multipliez $\sqrt{3} (- \sqrt{6})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 - \sqrt{3 \cdot 6} - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 8.1.5.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{3 - \sqrt{18} - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 8.1.6

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.6.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{3 - \sqrt{9 (2)} - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 8.1.6.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3^{2} \cdot 2} - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 8.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 - (3 \sqrt{2}) - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 8.1.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 8.1.9

Multipliez $- \sqrt{6} \sqrt{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - \sqrt{3 \cdot 6} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 8.1.9.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - \sqrt{18} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 8.1.10

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.10.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - \sqrt{9 (2)} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 8.1.10.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - \sqrt{3^{2} \cdot 2} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 8.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - (3 \sqrt{2}) - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 8.1.12

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 8.1.13

Multipliez $- \sqrt{6} (- \sqrt{6})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.13.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + 1 \sqrt{6} \sqrt{6}}{- 3}$

Étape 8.1.13.2

Multipliez $\sqrt{6}$ par $1$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{- 3}$

Étape 8.1.13.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + {\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}{- 3}$

Étape 8.1.13.4

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + {\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}{- 3}$

Étape 8.1.13.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + {\sqrt{6}}^{1 + 1}}{- 3}$

Étape 8.1.13.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + {\sqrt{6}}^{2}}{- 3}$

Étape 8.1.14

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 3}$

Étape 8.1.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 3}$

Étape 8.1.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + 6^{\frac{2}{2}}}{- 3}$

Étape 8.1.14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + 6^{\frac{2}{2}}}{- 3}$

Étape 8.1.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + 6^{1}}{- 3}$

Étape 8.1.14.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + 6}{- 3}$

Étape 8.2

Additionnez $3$ et $6$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}}{- 3}$

Étape 8.3

Soustrayez $3 \sqrt{2}$ de $- 3 \sqrt{2}$ .

$\frac{9 - 6 \sqrt{2}}{- 3}$

Étape 9

Annulez le facteur commun à $9 - 6 \sqrt{2}$ et $- 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 (3) - 6 \sqrt{2}}{- 3}$

Étape 9.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 (3) + 3 (- 2 \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 9.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (3) + 3 (- 2 \sqrt{2})$ .

$\frac{3 (3 - 2 \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 9.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (3 - 2 \sqrt{2})$

Étape 10

Réécrivez $- 1 \cdot (3 - 2 \sqrt{2})$ comme $- (3 - 2 \sqrt{2})$ .

$- (3 - 2 \sqrt{2})$

Étape 11

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 3 - (- 2 \sqrt{2})$

Étape 12

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 - (- 2 \sqrt{2})$

Étape 13

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 3 + 2 \sqrt{2}$