Algèbre Exemples

$y = - \frac{1}{6} x^{2} + 7 x - 80$

Étape 1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- \frac{1}{6} x^{2} + 7 x - 80 = y$

Étape 2

Ajoutez $80$ aux deux côtés de l’équation.

$- \frac{1}{6} x^{2} + 7 x = y + 80$

Étape 3

Complétez le carré.

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Étape 3.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + 7 x = y + 80$

Étape 3.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$b = 7$

$c = 0 = y + 80$

Étape 3.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 80$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{7}{2 (- \frac{1}{6})}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = \frac{7}{- 2 (\frac{1}{6})}$

Étape 3.4.2.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{6}$ .

$d = \frac{7}{\frac{- 2}{6}}$

Étape 3.4.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $6$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{7}{\frac{2 (- 1)}{6}}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = \frac{7}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

Étape 3.4.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{7}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

Étape 3.4.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{7}{\frac{- 1}{3}}$

Étape 3.4.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = \frac{7}{- \frac{1}{3}}$

Étape 3.4.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 7 (- 1 \cdot 3)$

Étape 3.4.2.4

Multipliez $7 (- 1 \cdot 3)$ .

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Étape 3.4.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$d = 7 \cdot - 3$

Étape 3.4.2.4.2

Multipliez $7$ par $- 3$ .

$d = - 21$

Étape 3.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{7^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{49}{4 (- \frac{1}{6})}$

Étape 3.5.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{49}{- 4 (\frac{1}{6})}$

Étape 3.5.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{6}$ .

$e = 0 - \frac{49}{\frac{- 4}{6}}$

Étape 3.5.2.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.1.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $6$ .

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Étape 3.5.2.1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$e = 0 - \frac{49}{\frac{2 (- 2)}{6}}$

Étape 3.5.2.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.1.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$e = 0 - \frac{49}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Étape 3.5.2.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{49}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Étape 3.5.2.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{49}{\frac{- 2}{3}}$

Étape 3.5.2.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = 0 - \frac{49}{- \frac{2}{3}}$

Étape 3.5.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 0 - (49 (- \frac{3}{2}))$

Étape 3.5.2.1.5

Multipliez $49 (- \frac{3}{2})$ .

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Étape 3.5.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$e = 0 - (- 49 (\frac{3}{2}))$

Étape 3.5.2.1.5.2

Associez $- 49$ et $\frac{3}{2}$ .

$e = 0 - \frac{- 49 \cdot 3}{2}$

Étape 3.5.2.1.5.3

Multipliez $- 49$ par $3$ .

$e = 0 - \frac{- 147}{2}$

Étape 3.5.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = 0 - - \frac{147}{2}$

Étape 3.5.2.1.7

Multipliez $- - \frac{147}{2}$ .

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Étape 3.5.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{147}{2})$

Étape 3.5.2.1.7.2

Multipliez $\frac{147}{2}$ par $1$ .

$e = 0 + \frac{147}{2}$

Étape 3.5.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{147}{2}$ .

$e = \frac{147}{2}$

Étape 3.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{6} {(x - 21)}^{2} + \frac{147}{2}$ .

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} + \frac{147}{2} = y + 80$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $\frac{147}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + 80 - \frac{147}{2}$

Étape 4.2

Pour écrire $80$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + 80 \cdot \frac{2}{2} - \frac{147}{2}$

Étape 4.3

Associez $80$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + \frac{80 \cdot 2}{2} - \frac{147}{2}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + \frac{80 \cdot 2 - 147}{2}$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $80$ par $2$ .

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + \frac{160 - 147}{2}$

Étape 4.5.2

Soustrayez $147$ de $160$ .

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + \frac{13}{2}$

Étape 5

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + \frac{13}{2}$ par $- 6$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + \frac{13}{2}$ par $- 6$ .

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} \cdot - 6 = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Associez ${(x - 21)}^{2}$ et $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{{(x - 21)}^{2}}{6} \cdot - 6 = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{{(x - 21)}^{2}}{6}$ dans le numérateur.

$\frac{- {(x - 21)}^{2}}{6} \cdot - 6 = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Étape 5.2.2.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$\frac{- {(x - 21)}^{2}}{6} \cdot (6 (- 1)) = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- {(x - 21)}^{2}}{6} \cdot (6 \cdot - 1) = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Étape 5.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$- {(x - 21)}^{2} \cdot - 1 = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Étape 5.2.3

Multipliez.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 {(x - 21)}^{2} = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Étape 5.2.3.2

Multipliez ${(x - 21)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 21)}^{2} = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Déplacez $- 6$ à gauche de $y$ .

${(x - 21)}^{2} = - 6 \cdot y + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Étape 5.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

${(x - 21)}^{2} = - 6 y + \frac{13}{2} \cdot (2 (- 3))$

Étape 5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

${(x - 21)}^{2} = - 6 y + \frac{13}{2} \cdot (2 \cdot - 3)$

Étape 5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

${(x - 21)}^{2} = - 6 y + 13 \cdot - 3$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $13$ par $- 3$ .

${(x - 21)}^{2} = - 6 y - 39$

Étape 6

Factorisez $3$ à partir de $- 6 y - 39$ .

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Étape 6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6 y$ .

${(x - 21)}^{2} = 3 (- 2 y) - 39$

Étape 6.2

Factorisez $3$ à partir de $- 39$ .

${(x - 21)}^{2} = 3 (- 2 y) + 3 (- 13)$

Étape 6.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 2 y) + 3 (- 13)$ .

${(x - 21)}^{2} = 3 (- 2 y - 13)$