Algèbre Exemples

$\frac{3}{15 v^{2}}$ , $\frac{v^{2} - 4}{20 v^{3}}$

Étape 1

Simplifiez chaque polynôme.

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun à $3$ et $15$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (1)}{15 v^{2}}, \frac{v^{2} - 4}{20 v^{3}}$

Étape 1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15 v^{2}$ .

$\frac{3 (1)}{3 (5 v^{2})}, \frac{v^{2} - 4}{20 v^{3}}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1}{3 (5 v^{2})}, \frac{v^{2} - 4}{20 v^{3}}$

Étape 1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5 v^{2}}, \frac{v^{2} - 4}{20 v^{3}}$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{5 v^{2}}, \frac{v^{2} - 2^{2}}{20 v^{3}}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = v$ et $b = 2$ .

$\frac{1}{5 v^{2}}, \frac{(v + 2) (v - 2)}{20 v^{3}}$

Étape 2

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$5 v^{2}, 20 v^{3}$

Étape 3

Comme $5 v^{2}, 20 v^{3}$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $5, 20$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $v^{2}, v^{3}$ .

Étape 4

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 5

$5$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $5$ .

$5$ est un nombre premier

Étape 6

Les facteurs premiers pour $20$ sont $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 6.1

$20$ a des facteurs de $2$ et $10$ .

$2 \cdot 10$

Étape 6.2

$10$ a des facteurs de $2$ et $5$ .

$2 \cdot 2 \cdot 5$

Étape 7

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 7.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 5$

Étape 7.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$20$

Étape 8

Les facteurs pour $v^{2}$ sont $v \cdot v$ , qui correspond à $v$ multipliés entre eux $2$ fois.

$v^{2} = v \cdot v$

$v$ se produit $2$ fois.

Étape 9

Les facteurs pour $v^{3}$ sont $v \cdot v \cdot v$ , qui correspond à $v$ multipliés entre eux $3$ fois.

$v^{3} = v \cdot v \cdot v$

$v$ se produit $3$ fois.

Étape 10

Le plus petit multiple commun de $v^{2}, v^{3}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$v \cdot v \cdot v$

Étape 11

Simplifiez $v \cdot v \cdot v$ .

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Étape 11.1

Multipliez $v$ par $v$ .

$v^{2} \cdot v$

Étape 11.2

Multipliez $v^{2}$ par $v$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.1

Multipliez $v^{2}$ par $v$ .

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Étape 11.2.1.1

Élevez $v$ à la puissance $1$ .

$v^{2} \cdot v^{1}$

Étape 11.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$v^{2 + 1}$

Étape 11.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$v^{3}$

Étape 12

Le plus petit multiple commun pour $5 v^{2}, 20 v^{3}$ est la partie numérique $20$ multipliée par la partie variable.

$20 v^{3}$