Algèbre Exemples

$x (24 - 2 x) (18 - 2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x (24 - 2 x)$ et $g (x) = 18 - 2 x$ .

$x (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [18 - 2 x] + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (24 - 2 x)]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $18 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (24 - 2 x) (\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (24 - 2 x)]$

Étape 1.2.2

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (24 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (24 - 2 x)]$

Étape 1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (24 - 2 x)]$

Étape 1.2.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (24 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (24 - 2 x)]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (24 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (24 - 2 x)]$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x (24 - 2 x) \cdot - 2 + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (24 - 2 x)]$

Étape 1.2.6.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x (24 - 2 x)$ .

$- 2 \cdot (x (24 - 2 x)) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (24 - 2 x)]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 24 - 2 x$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [24 - 2 x] + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.2

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- 2 x] + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x (- 2 \cdot 1) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.6.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x \cdot - 2 + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.6.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (- 2 \cdot x + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (- 2 x + (24 - 2 x) \cdot 1)$

Étape 1.4.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.4.8.1

Multipliez $24 - 2 x$ par $1$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (- 2 x + 24 - 2 x)$

Étape 1.4.8.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$- 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (- 4 x + 24)$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) + (18 - 2 x) (- 4 x + 24)$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) + (18 - 2 x) (- 4 x) + (18 - 2 x) \cdot 24$

Étape 1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + (18 - 2 x) \cdot 24$

Étape 1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 1.5.5

Associez des termes.

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Étape 1.5.5.1

Multipliez $24$ par $- 2$ .

$- 48 x - 2 x (- 2 x) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 1.5.5.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$- 48 x + 4 x \cdot x + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 1.5.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 48 x + 4 (x^{1} x) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 1.5.5.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 48 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 1.5.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 48 x + 4 x^{1 + 1} + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 1.5.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 48 x + 4 x^{2} + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 1.5.5.7

Multipliez $- 4$ par $18$ .

$- 48 x + 4 x^{2} - 72 x - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 1.5.5.8

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$- 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x \cdot x + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 1.5.5.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 (x^{1} x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 1.5.5.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 1.5.5.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x^{1 + 1} + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 1.5.5.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x^{2} + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 1.5.5.13

Multipliez $18$ par $24$ .

$- 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x^{2} + 432 - 2 x \cdot 24$

Étape 1.5.5.14

Multipliez $24$ par $- 2$ .

$- 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x^{2} + 432 - 48 x$

Étape 1.5.5.15

Soustrayez $48 x$ de $- 72 x$ .

$- 48 x + 4 x^{2} - 120 x + 8 x^{2} + 432$

Étape 1.5.5.16

Soustrayez $120 x$ de $- 48 x$ .

$4 x^{2} - 168 x + 8 x^{2} + 432$

Étape 1.5.5.17

Additionnez $4 x^{2}$ et $8 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 168 x + 432$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{2} - 168 x + 432$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 168 x] + \frac{d}{d x} [432]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 168 x) + \frac{d}{d x} (432)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 168 x) + \frac{d}{d x} (432)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 168 x) + \frac{d}{d x} (432)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 168 x) + \frac{d}{d x} (432)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 168 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 168$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 168 x$ par rapport à $x$ est $- 168 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x - 168 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (432)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x - 168 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (432)$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 168$ par $1$ .

$f'' (x) = 24 x - 168 + \frac{d}{d x} (432)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $432$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $432$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 168 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $24 x - 168$ et $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 168$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$12 x^{2} - 168 x + 432 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$f' (x) = x (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (18 - 2 x) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} (x (24 - 2 x))$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $18 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = x (24 - 2 x) (\frac{d}{d x} (18) + \frac{d}{d x} (- 2 x)) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} (x (24 - 2 x))$

Étape 4.1.2.2

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x (24 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} (x (24 - 2 x))$

Étape 4.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = x (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (- 2 x) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} (x (24 - 2 x))$

Étape 4.1.2.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (24 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} x) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} (x (24 - 2 x))$

Étape 4.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (24 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} (x (24 - 2 x))$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = x (24 - 2 x) \cdot - 2 + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} (x (24 - 2 x))$

Étape 4.1.2.6.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x (24 - 2 x)$ .

$f' (x) = - 2 \cdot (x (24 - 2 x)) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} (x (24 - 2 x))$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 24 - 2 x$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x \frac{d}{d x} (24 - 2 x) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 4.1.4

Différenciez.

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Étape 4.1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} (24) + \frac{d}{d x} (- 2 x)) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 4.1.4.2

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 4.1.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x \frac{d}{d x} (- 2 x) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 4.1.4.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x (- 2 \frac{d}{d x} x) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 4.1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x (- 2 \cdot 1) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 4.1.4.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.6.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (x \cdot - 2 + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 4.1.4.6.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (- 2 \cdot x + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 4.1.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (- 2 x + (24 - 2 x) \cdot 1)$

Étape 4.1.4.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.1.4.8.1

Multipliez $24 - 2 x$ par $1$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (- 2 x + 24 - 2 x)$

Étape 4.1.4.8.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = - 2 x (24 - 2 x) + (18 - 2 x) (- 4 x + 24)$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) + (18 - 2 x) (- 4 x + 24)$

Étape 4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) + (18 - 2 x) (- 4 x) + (18 - 2 x) \cdot 24$

Étape 4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + (18 - 2 x) \cdot 24$

Étape 4.1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 4.1.5.5

Associez des termes.

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Étape 4.1.5.5.1

Multipliez $24$ par $- 2$ .

$f' (x) = - 48 x - 2 x (- 2 x) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 4.1.5.5.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x \cdot x + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 4.1.5.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 (x \cdot x) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 4.1.5.5.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 (x \cdot x) + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 4.1.5.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{1 + 1} + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 4.1.5.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} + 18 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 4.1.5.5.7

Multipliez $- 4$ par $18$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} - 72 x - 2 x (- 4 x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 4.1.5.5.8

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x \cdot x + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 4.1.5.5.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 (x \cdot x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 4.1.5.5.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 (x \cdot x) + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 4.1.5.5.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x^{1 + 1} + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 4.1.5.5.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x^{2} + 18 \cdot 24 - 2 x \cdot 24$

Étape 4.1.5.5.13

Multipliez $18$ par $24$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x^{2} + 432 - 2 x \cdot 24$

Étape 4.1.5.5.14

Multipliez $24$ par $- 2$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} - 72 x + 8 x^{2} + 432 - 48 x$

Étape 4.1.5.5.15

Soustrayez $48 x$ de $- 72 x$ .

$f' (x) = - 48 x + 4 x^{2} - 120 x + 8 x^{2} + 432$

Étape 4.1.5.5.16

Soustrayez $120 x$ de $- 48 x$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 168 x + 8 x^{2} + 432$

Étape 4.1.5.5.17

Additionnez $4 x^{2}$ et $8 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 168 x + 432$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 168 x + 432$ .

$12 x^{2} - 168 x + 432$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 168 x + 432 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{2} - 168 x + 432 = 0$

Étape 5.2

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} - 168 x + 432$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) - 168 x + 432 = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $12$ à partir de $- 168 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (- 14 x) + 432 = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $12$ à partir de $432$ .

$12 x^{2} + 12 (- 14 x) + 12 \cdot 36 = 0$

Étape 5.2.4

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} + 12 (- 14 x)$ .

$12 (x^{2} - 14 x) + 12 \cdot 36 = 0$

Étape 5.2.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{2} - 14 x) + 12 \cdot 36$ .

$12 (x^{2} - 14 x + 36) = 0$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $12 (x^{2} - 14 x + 36) = 0$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $12 (x^{2} - 14 x + 36) = 0$ par $12$ .

$\frac{12 (x^{2} - 14 x + 36)}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 (x^{2} - 14 x + 36)}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x^{2} - 14 x + 36$ par $1$ .

$x^{2} - 14 x + 36 = \frac{0}{12}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $0$ par $12$ .

$x^{2} - 14 x + 36 = 0$

Étape 5.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 14$ et $c = 36$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1.1

Élevez $- 14$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 36$ .

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Étape 5.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $36$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 144}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.3

Soustrayez $144$ de $196$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.4

Réécrivez $52$ comme $2^{2} \cdot 13$ .

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Étape 5.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $52$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$

Étape 5.6.3

Simplifiez $\frac{14 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$ .

$x = 7 \pm \sqrt{13}$

Étape 5.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 7 + \sqrt{13}, 7 - \sqrt{13}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 7 + \sqrt{13}, 7 - \sqrt{13}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 7 + \sqrt{13}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$24 (7 + \sqrt{13}) - 168$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$24 \cdot 7 + 24 \sqrt{13} - 168$

Étape 9.1.2

Multipliez $24$ par $7$ .

$168 + 24 \sqrt{13} - 168$

Étape 9.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $168$ de $168$ .

$0 + 24 \sqrt{13}$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $24 \sqrt{13}$ .

$24 \sqrt{13}$

Étape 10

$x = 7 + \sqrt{13}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 7 + \sqrt{13}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 7 + \sqrt{13}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $7 + \sqrt{13}$ dans l’expression.

$f (7 + \sqrt{13}) = (7 + \sqrt{13}) (24 - 2 (7 + \sqrt{13})) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez les termes.

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Étape 11.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (7 + \sqrt{13}) = (7 + \sqrt{13}) (24 - 2 \cdot 7 - 2 \sqrt{13}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.1.1.2

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (7 + \sqrt{13}) (24 - 14 - 2 \sqrt{13}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.1.2

Soustrayez $14$ de $24$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (7 + \sqrt{13}) (10 - 2 \sqrt{13}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.2

Développez $(7 + \sqrt{13}) (10 - 2 \sqrt{13})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (7 + \sqrt{13}) = (7 (10 - 2 \sqrt{13}) + \sqrt{13} (10 - 2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (7 + \sqrt{13}) = (7 \cdot 10 + 7 (- 2 \sqrt{13}) + \sqrt{13} (10 - 2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (7 + \sqrt{13}) = (7 \cdot 10 + 7 (- 2 \sqrt{13}) + \sqrt{13} \cdot 10 + \sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.3.1.1

Multipliez $7$ par $10$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 + 7 (- 2 \sqrt{13}) + \sqrt{13} \cdot 10 + \sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + \sqrt{13} \cdot 10 + \sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.3.1.3

Déplacez $10$ à gauche de $\sqrt{13}$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \cdot \sqrt{13} + \sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.3.1.4

Multipliez $\sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})$ .

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Étape 11.2.3.1.4.1

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 (\sqrt{13} \sqrt{13})) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 (\sqrt{13} \sqrt{13})) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 {\sqrt{13}}^{1 + 1}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 {\sqrt{13}}^{2}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

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Étape 11.2.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13^{\frac{2}{2}}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13^{\frac{2}{2}}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $13$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (70 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13} - 26) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.3.2

Soustrayez $26$ de $70$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (44 - 14 \sqrt{13} + 10 \sqrt{13}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.3.3

Additionnez $- 14 \sqrt{13}$ et $10 \sqrt{13}$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (44 - 4 \sqrt{13}) (18 - 2 (7 + \sqrt{13}))$

Étape 11.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 11.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (7 + \sqrt{13}) = (44 - 4 \sqrt{13}) (18 - 2 \cdot 7 - 2 \sqrt{13})$

Étape 11.2.4.1.2

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (44 - 4 \sqrt{13}) (18 - 14 - 2 \sqrt{13})$

Étape 11.2.4.2

Soustrayez $14$ de $18$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = (44 - 4 \sqrt{13}) (4 - 2 \sqrt{13})$

Étape 11.2.5

Développez $(44 - 4 \sqrt{13}) (4 - 2 \sqrt{13})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (7 + \sqrt{13}) = 44 (4 - 2 \sqrt{13}) - 4 \sqrt{13} (4 - 2 \sqrt{13})$

Étape 11.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (7 + \sqrt{13}) = 44 \cdot 4 + 44 (- 2 \sqrt{13}) - 4 \sqrt{13} (4 - 2 \sqrt{13})$

Étape 11.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (7 + \sqrt{13}) = 44 \cdot 4 + 44 (- 2 \sqrt{13}) - 4 \sqrt{13} \cdot 4 - 4 \sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})$

Étape 11.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.6.1.1

Multipliez $44$ par $4$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 + 44 (- 2 \sqrt{13}) - 4 \sqrt{13} \cdot 4 - 4 \sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})$

Étape 11.2.6.1.2

Multipliez $- 2$ par $44$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} \cdot 4 - 4 \sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})$

Étape 11.2.6.1.3

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})$

Étape 11.2.6.1.4

Multipliez $- 4 \sqrt{13} (- 2 \sqrt{13})$ .

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Étape 11.2.6.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 \sqrt{13} \sqrt{13}$

Étape 11.2.6.1.4.2

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 (\sqrt{13} \sqrt{13})$

Étape 11.2.6.1.4.3

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 (\sqrt{13} \sqrt{13})$

Étape 11.2.6.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 {\sqrt{13}}^{1 + 1}$

Étape 11.2.6.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 {\sqrt{13}}^{2}$

Étape 11.2.6.1.5

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

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Étape 11.2.6.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 11.2.6.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 11.2.6.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13^{\frac{2}{2}}$

Étape 11.2.6.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.6.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13^{\frac{2}{2}}$

Étape 11.2.6.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13$

Étape 11.2.6.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13$

Étape 11.2.6.1.6

Multipliez $8$ par $13$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 176 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13} + 104$

Étape 11.2.6.2

Additionnez $176$ et $104$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 280 - 88 \sqrt{13} - 16 \sqrt{13}$

Étape 11.2.6.3

Soustrayez $16 \sqrt{13}$ de $- 88 \sqrt{13}$ .

$f (7 + \sqrt{13}) = 280 - 104 \sqrt{13}$

Étape 11.2.7

La réponse finale est $280 - 104 \sqrt{13}$ .

$y = 280 - 104 \sqrt{13}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 7 - \sqrt{13}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$24 (7 - \sqrt{13}) - 168$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$24 \cdot 7 + 24 (- \sqrt{13}) - 168$

Étape 13.1.2

Multipliez $24$ par $7$ .

$168 + 24 (- \sqrt{13}) - 168$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 1$ par $24$ .

$168 - 24 \sqrt{13} - 168$

Étape 13.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Soustrayez $168$ de $168$ .

$0 - 24 \sqrt{13}$

Étape 13.2.2

Soustrayez $24 \sqrt{13}$ de $0$ .

$- 24 \sqrt{13}$

Étape 14

$x = 7 - \sqrt{13}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 7 - \sqrt{13}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 7 - \sqrt{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $7 - \sqrt{13}$ dans l’expression.

$f (7 - \sqrt{13}) = (7 - \sqrt{13}) (24 - 2 (7 - \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (7 - \sqrt{13}) = (7 - \sqrt{13}) (24 - 2 \cdot 7 - 2 (- \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.1.1.2

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (7 - \sqrt{13}) (24 - 14 - 2 (- \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (7 - \sqrt{13}) (24 - 14 + 2 \sqrt{13}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.1.2

Soustrayez $14$ de $24$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (7 - \sqrt{13}) (10 + 2 \sqrt{13}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.2

Développez $(7 - \sqrt{13}) (10 + 2 \sqrt{13})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (7 - \sqrt{13}) = (7 (10 + 2 \sqrt{13}) - \sqrt{13} (10 + 2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (7 - \sqrt{13}) = (7 \cdot 10 + 7 (2 \sqrt{13}) - \sqrt{13} (10 + 2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (7 - \sqrt{13}) = (7 \cdot 10 + 7 (2 \sqrt{13}) - \sqrt{13} \cdot 10 - \sqrt{13} (2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.3.1.1

Multipliez $7$ par $10$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 7 (2 \sqrt{13}) - \sqrt{13} \cdot 10 - \sqrt{13} (2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - \sqrt{13} \cdot 10 - \sqrt{13} (2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.3.1.3

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - \sqrt{13} (2 \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.3.1.4

Multipliez $- \sqrt{13} (2 \sqrt{13})$ .

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Étape 15.2.3.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 \sqrt{13} \sqrt{13}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 (\sqrt{13} \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 (\sqrt{13} \sqrt{13})) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 {\sqrt{13}}^{1 + 1}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 {\sqrt{13}}^{2}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

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Étape 15.2.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13^{\frac{2}{2}}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13^{\frac{2}{2}}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 2 \cdot 13) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $13$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (70 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13} - 26) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.3.2

Soustrayez $26$ de $70$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (44 + 14 \sqrt{13} - 10 \sqrt{13}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.3.3

Soustrayez $10 \sqrt{13}$ de $14 \sqrt{13}$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (44 + 4 \sqrt{13}) (18 - 2 (7 - \sqrt{13}))$

Étape 15.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 15.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (7 - \sqrt{13}) = (44 + 4 \sqrt{13}) (18 - 2 \cdot 7 - 2 (- \sqrt{13}))$

Étape 15.2.4.1.2

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (44 + 4 \sqrt{13}) (18 - 14 - 2 (- \sqrt{13}))$

Étape 15.2.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (44 + 4 \sqrt{13}) (18 - 14 + 2 \sqrt{13})$

Étape 15.2.4.2

Soustrayez $14$ de $18$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = (44 + 4 \sqrt{13}) (4 + 2 \sqrt{13})$

Étape 15.2.5

Développez $(44 + 4 \sqrt{13}) (4 + 2 \sqrt{13})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (7 - \sqrt{13}) = 44 (4 + 2 \sqrt{13}) + 4 \sqrt{13} (4 + 2 \sqrt{13})$

Étape 15.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (7 - \sqrt{13}) = 44 \cdot 4 + 44 (2 \sqrt{13}) + 4 \sqrt{13} (4 + 2 \sqrt{13})$

Étape 15.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (7 - \sqrt{13}) = 44 \cdot 4 + 44 (2 \sqrt{13}) + 4 \sqrt{13} \cdot 4 + 4 \sqrt{13} (2 \sqrt{13})$

Étape 15.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.6.1.1

Multipliez $44$ par $4$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 44 (2 \sqrt{13}) + 4 \sqrt{13} \cdot 4 + 4 \sqrt{13} (2 \sqrt{13})$

Étape 15.2.6.1.2

Multipliez $2$ par $44$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13} \cdot 4 + 4 \sqrt{13} (2 \sqrt{13})$

Étape 15.2.6.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13} (2 \sqrt{13})$

Étape 15.2.6.1.4

Multipliez $4 \sqrt{13} (2 \sqrt{13})$ .

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Étape 15.2.6.1.4.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 \sqrt{13} \sqrt{13}$

Étape 15.2.6.1.4.2

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 (\sqrt{13} \sqrt{13})$

Étape 15.2.6.1.4.3

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 (\sqrt{13} \sqrt{13})$

Étape 15.2.6.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 {\sqrt{13}}^{1 + 1}$

Étape 15.2.6.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 {\sqrt{13}}^{2}$

Étape 15.2.6.1.5

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.6.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 15.2.6.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 15.2.6.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13^{\frac{2}{2}}$

Étape 15.2.6.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.6.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13^{\frac{2}{2}}$

Étape 15.2.6.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13$

Étape 15.2.6.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 8 \cdot 13$

Étape 15.2.6.1.6

Multipliez $8$ par $13$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 176 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} + 104$

Étape 15.2.6.2

Additionnez $176$ et $104$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 280 + 88 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13}$

Étape 15.2.6.3

Additionnez $88 \sqrt{13}$ et $16 \sqrt{13}$ .

$f (7 - \sqrt{13}) = 280 + 104 \sqrt{13}$

Étape 15.2.7

La réponse finale est $280 + 104 \sqrt{13}$ .

$y = 280 + 104 \sqrt{13}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x (24 - 2 x) (18 - 2 x)$ .

$(7 + \sqrt{13}, 280 - 104 \sqrt{13})$ est un minimum local

$(7 - \sqrt{13}, 280 + 104 \sqrt{13})$ est un maximum local

Étape 17