Algèbre Exemples

$[\begin{array}{c} 0 & 7 & 7 & 3 \\ 0 & 2 & 5 & 6 \\ 5 & 7 & 9 & 4 \\ 6 & 2 & 2 & 4 \end{array}]$

Étape 1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments $0$ . S’il n’y a aucun élément $0$ , choisissez n’importe quelle ligne ou colonne. Multipliez chaque élément de la colonne $1$ par son cofacteur et additionnez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 1.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \\ 2 & 2 & 4 \end{array} |$

Étape 1.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \\ 2 & 2 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5

Le mineur pour $a_{21}$ est le déterminant dont la ligne $2$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 7 & 9 & 4 \\ 2 & 2 & 4 \end{array} |$

Étape 1.6

Multipliez l’élément $a_{21}$ par son cofacteur.

$0 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 7 & 9 & 4 \\ 2 & 2 & 4 \end{array} |$

Étape 1.7

Le mineur pour $a_{31}$ est le déterminant dont la ligne $3$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 2 & 2 & 4 \end{array} |$

Étape 1.8

Multipliez l’élément $a_{31}$ par son cofacteur.

$5 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 2 & 2 & 4 \end{array} |$

Étape 1.9

Le mineur pour $a_{41}$ est le déterminant dont la ligne $4$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 1.10

Multipliez l’élément $a_{41}$ par son cofacteur.

$- 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 1.11

Additionnez les termes entre eux.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \\ 2 & 2 & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 7 & 9 & 4 \\ 2 & 2 & 4 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 2 & 2 & 4 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \\ 2 & 2 & 4 \end{array} |$ .

$0 + 0 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 7 & 9 & 4 \\ 2 & 2 & 4 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 2 & 2 & 4 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 7 & 9 & 4 \\ 2 & 2 & 4 \end{array} |$ .

$0 + 0 + 5 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 2 & 2 & 4 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 2 & 2 & 4 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments $0$ . S’il n’y a aucun élément $0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne $1$ par son cofacteur et ajoutez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 4.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 4.1.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Étape 4.1.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$7 | \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Étape 4.1.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 2 & 6 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Étape 4.1.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$- 7 | \begin{array}{c} 2 & 6 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Étape 4.1.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Étape 4.1.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Étape 4.1.9

Additionnez les termes entre eux.

$0 + 0 + 5 (7 | \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 2 & 4 \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 2 & 6 \\ 2 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 2 & 2 \end{array} |) - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 4.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 2 & 4 \end{array} |$ .

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Étape 4.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 + 5 (7 (5 \cdot 4 - 2 \cdot 6) - 7 | \begin{array}{c} 2 & 6 \\ 2 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 2 & 2 \end{array} |) - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 4.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$0 + 0 + 5 (7 (20 - 2 \cdot 6) - 7 | \begin{array}{c} 2 & 6 \\ 2 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 2 & 2 \end{array} |) - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$0 + 0 + 5 (7 (20 - 12) - 7 | \begin{array}{c} 2 & 6 \\ 2 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 2 & 2 \end{array} |) - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $12$ de $20$ .

$0 + 0 + 5 (7 \cdot 8 - 7 | \begin{array}{c} 2 & 6 \\ 2 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 2 & 2 \end{array} |) - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 4.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 6 \\ 2 & 4 \end{array} |$ .

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Étape 4.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 + 5 (7 \cdot 8 - 7 (2 \cdot 4 - 2 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 2 & 2 \end{array} |) - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 4.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$0 + 0 + 5 (7 \cdot 8 - 7 (8 - 2 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 2 & 2 \end{array} |) - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$0 + 0 + 5 (7 \cdot 8 - 7 (8 - 12) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 2 & 2 \end{array} |) - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $12$ de $8$ .

$0 + 0 + 5 (7 \cdot 8 - 7 \cdot - 4 + 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 2 & 2 \end{array} |) - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 4.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 2 & 2 \end{array} |$ .

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Étape 4.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 + 5 (7 \cdot 8 - 7 \cdot - 4 + 3 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 5)) - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 4.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$0 + 0 + 5 (7 \cdot 8 - 7 \cdot - 4 + 3 (4 - 2 \cdot 5)) - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$0 + 0 + 5 (7 \cdot 8 - 7 \cdot - 4 + 3 (4 - 10)) - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 4.4.2.2

Soustrayez $10$ de $4$ .

$0 + 0 + 5 (7 \cdot 8 - 7 \cdot - 4 + 3 \cdot - 6) - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 4.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1.1

Multipliez $7$ par $8$ .

$0 + 0 + 5 (56 - 7 \cdot - 4 + 3 \cdot - 6) - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 7$ par $- 4$ .

$0 + 0 + 5 (56 + 28 + 3 \cdot - 6) - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 4.5.1.3

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$0 + 0 + 5 (56 + 28 - 18) - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 4.5.2

Additionnez $56$ et $28$ .

$0 + 0 + 5 (84 - 18) - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 4.5.3

Soustrayez $18$ de $84$ .

$0 + 0 + 5 \cdot 66 - 6 | \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$

Étape 5

Évaluez $| \begin{array}{c} 7 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 4 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 5.1.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$7 | \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Étape 5.1.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 2 & 6 \\ 7 & 4 \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$- 7 | \begin{array}{c} 2 & 6 \\ 7 & 4 \end{array} |$

Étape 5.1.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 9 \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 9 \end{array} |$

Étape 5.1.9

Additionnez les termes entre eux.

$0 + 0 + 5 \cdot 66 - 6 (7 | \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 9 & 4 \end{array} | - 7 | \begin{array}{c} 2 & 6 \\ 7 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 9 \end{array} |)$

Étape 5.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 9 & 4 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 + 5 \cdot 66 - 6 (7 (5 \cdot 4 - 9 \cdot 6) - 7 | \begin{array}{c} 2 & 6 \\ 7 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 9 \end{array} |)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$0 + 0 + 5 \cdot 66 - 6 (7 (20 - 9 \cdot 6) - 7 | \begin{array}{c} 2 & 6 \\ 7 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 9 \end{array} |)$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $- 9$ par $6$ .

$0 + 0 + 5 \cdot 66 - 6 (7 (20 - 54) - 7 | \begin{array}{c} 2 & 6 \\ 7 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 9 \end{array} |)$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $54$ de $20$ .

$0 + 0 + 5 \cdot 66 - 6 (7 \cdot - 34 - 7 | \begin{array}{c} 2 & 6 \\ 7 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 9 \end{array} |)$

Étape 5.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 6 \\ 7 & 4 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 + 5 \cdot 66 - 6 (7 \cdot - 34 - 7 (2 \cdot 4 - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 9 \end{array} |)$

Étape 5.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$0 + 0 + 5 \cdot 66 - 6 (7 \cdot - 34 - 7 (8 - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 9 \end{array} |)$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $6$ .

$0 + 0 + 5 \cdot 66 - 6 (7 \cdot - 34 - 7 (8 - 42) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 9 \end{array} |)$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $42$ de $8$ .

$0 + 0 + 5 \cdot 66 - 6 (7 \cdot - 34 - 7 \cdot - 34 + 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 9 \end{array} |)$

Étape 5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 9 \end{array} |$ .

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Étape 5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 + 5 \cdot 66 - 6 (7 \cdot - 34 - 7 \cdot - 34 + 3 (2 \cdot 9 - 7 \cdot 5))$

Étape 5.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$0 + 0 + 5 \cdot 66 - 6 (7 \cdot - 34 - 7 \cdot - 34 + 3 (18 - 7 \cdot 5))$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $5$ .

$0 + 0 + 5 \cdot 66 - 6 (7 \cdot - 34 - 7 \cdot - 34 + 3 (18 - 35))$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $35$ de $18$ .

$0 + 0 + 5 \cdot 66 - 6 (7 \cdot - 34 - 7 \cdot - 34 + 3 \cdot - 17)$

Étape 5.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.1

Multipliez $7$ par $- 34$ .

$0 + 0 + 5 \cdot 66 - 6 (- 238 - 7 \cdot - 34 + 3 \cdot - 17)$

Étape 5.5.1.2

Multipliez $- 7$ par $- 34$ .

$0 + 0 + 5 \cdot 66 - 6 (- 238 + 238 + 3 \cdot - 17)$

Étape 5.5.1.3

Multipliez $3$ par $- 17$ .

$0 + 0 + 5 \cdot 66 - 6 (- 238 + 238 - 51)$

Étape 5.5.2

Additionnez $- 238$ et $238$ .

$0 + 0 + 5 \cdot 66 - 6 (0 - 51)$

Étape 5.5.3

Soustrayez $51$ de $0$ .

$0 + 0 + 5 \cdot 66 - 6 \cdot - 51$

Étape 6

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Multipliez $5$ par $66$ .

$0 + 0 + 330 - 6 \cdot - 51$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 6$ par $- 51$ .

$0 + 0 + 330 + 306$

Étape 6.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 330 + 306$

Étape 6.3

Additionnez $0$ et $330$ .

$330 + 306$

Étape 6.4

Additionnez $330$ et $306$ .

$636$