Algèbre Exemples

$\frac{1}{a - b} + \frac{4}{b - a} - \frac{8}{a + b} - \frac{11 a - 5 b}{b^{2} - a^{2}}$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = b$ et $b = a$ .

$\frac{1}{a - b} + \frac{4}{b - a} - \frac{8}{a + b} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $b$ .

$\frac{1}{a - b} + \frac{4}{- 1 (- b) - a} - \frac{8}{a + b} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$\frac{1}{a - b} + \frac{4}{- 1 (- b) - (a)} - \frac{8}{a + b} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- b) - (a)$ .

$\frac{1}{a - b} + \frac{4}{- 1 (- b + a)} - \frac{8}{a + b} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Faites passer un signe négatif du dénominateur de $\frac{4}{- 1 (- b + a)}$ au numérateur.

$\frac{1}{a - b} + \frac{- 1 \cdot 4}{- b + a} - \frac{8}{a + b} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{a - b} + \frac{- 1 \cdot 4}{a - b} - \frac{8}{a + b} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 1 \cdot 4}{a - b} - \frac{8}{a + b} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1 - 4}{a - b} - \frac{8}{a + b} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 3.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{- 3}{a - b} - \frac{8}{a + b} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{a - b} - \frac{8}{a + b} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 5

Pour écrire $- \frac{3}{a - b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$- \frac{3}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{8}{a + b} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 6

Pour écrire $- \frac{8}{a + b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - b}{a - b}$ .

$- \frac{3}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{8}{a + b} \cdot \frac{a - b}{a - b} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a - b) (a + b)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{3}{a - b}$ par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$- \frac{3 (a + b)}{(a - b) (a + b)} - \frac{8}{a + b} \cdot \frac{a - b}{a - b} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{8}{a + b}$ par $\frac{a - b}{a - b}$ .

$- \frac{3 (a + b)}{(a - b) (a + b)} - \frac{8 (a - b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 7.3

Réorganisez les facteurs de $(a - b) (a + b)$ .

$- \frac{3 (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{8 (a - b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 (a + b) - 8 (a - b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 (a + b) - 8 (a - b)$ .

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Étape 9.1.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 (a + b)$ .

$\frac{- (3 (a + b)) - 8 (a - b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 9.1.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 (a - b)$ .

$\frac{- (3 (a + b)) - (8 (a - b))}{(a + b) (a - b)} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 9.1.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 (a + b)) - (8 (a - b))$ .

$\frac{- (3 (a + b) + 8 (a - b))}{(a + b) (a - b)} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 9.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (3 a + 3 b + 8 (a - b))}{(a + b) (a - b)} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (3 a + 3 b + 8 a + 8 (- b))}{(a + b) (a - b)} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{- (3 a + 3 b + 8 a - 8 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 9.1.5

Additionnez $3 a$ et $8 a$ .

$\frac{- (11 a + 3 b - 8 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 9.1.6

Soustrayez $8 b$ de $3 b$ .

$\frac{- (11 a - 5 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11 a - 5 b}{(a + b) (a - b)} - \frac{11 a - 5 b}{(b + a) (b - a)}$

Étape 10

Simplifiez en factorisant.

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Étape 10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{11 a - 5 b}{(a + b) (a - b)} - \frac{11 a - 5 b}{(a + b) (b - a)}$

Étape 10.2

Factorisez $- 1$ à partir de $b$ .

$- \frac{11 a - 5 b}{(a + b) (a - b)} - \frac{11 a - 5 b}{(a + b) (- 1 (- b) - a)}$

Étape 10.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$- \frac{11 a - 5 b}{(a + b) (a - b)} - \frac{11 a - 5 b}{(a + b) (- 1 (- b) - (a))}$

Étape 10.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- b) - (a)$ .

$- \frac{11 a - 5 b}{(a + b) (a - b)} - \frac{11 a - 5 b}{(a + b) (- 1 (- b + a))}$

Étape 10.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{11 a - 5 b}{(a + b) (a - b)} - \frac{11 a - 5 b}{(a + b) (- 1 (a - b))}$

Étape 11

Pour écrire $- \frac{11 a - 5 b}{(a + b) (a - b)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$- \frac{11 a - 5 b}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{11 a - 5 b}{(a + b) (- 1 (a - b))}$

Étape 12

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a + b) (a - b) \cdot - 1$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 12.1

Multipliez $\frac{11 a - 5 b}{(a + b) (a - b)}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$- \frac{(11 a - 5 b) \cdot - 1}{(a + b) (a - b) \cdot - 1} - \frac{11 a - 5 b}{(a + b) (- 1 (a - b))}$

Étape 12.2

Réorganisez les facteurs de $(a + b) (a - b) \cdot - 1$ .

$- \frac{(11 a - 5 b) \cdot - 1}{- (a + b) (a - b)} - \frac{11 a - 5 b}{(a + b) (- 1 (a - b))}$

Étape 12.3

Réorganisez les facteurs de $(a + b) (- 1 (a - b))$ .

$- \frac{(11 a - 5 b) \cdot - 1}{- (a + b) (a - b)} - \frac{11 a - 5 b}{- (a + b) (a - b)}$

Étape 13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (11 a - 5 b) \cdot - 1 - (11 a - 5 b)}{- (a + b) (a - b)}$

Étape 14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1

Factorisez $- (11 a - 5 b)$ à partir de $- (11 a - 5 b) \cdot - 1 - (11 a - 5 b)$ .

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Étape 14.1.1

Déplacez $11 a - 5 b$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1 (11 a - 5 b) - (11 a - 5 b)}{- (a + b) (a - b)}$

Étape 14.1.2

Factorisez $- (11 a - 5 b)$ à partir de $- 1 \cdot - 1 (11 a - 5 b)$ .

$\frac{- (11 a - 5 b) (- 1) - (11 a - 5 b)}{- (a + b) (a - b)}$

Étape 14.1.3

Factorisez $- (11 a - 5 b)$ à partir de $- (11 a - 5 b)$ .

$\frac{- (11 a - 5 b) (- 1) - (11 a - 5 b) (1)}{- (a + b) (a - b)}$

Étape 14.1.4

Factorisez $- (11 a - 5 b)$ à partir de $- (11 a - 5 b) (- 1) - (11 a - 5 b) (1)$ .

$\frac{- (11 a - 5 b) (- 1 + 1)}{- (a + b) (a - b)}$

Étape 14.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{- (11 a - 5 b) \cdot 0}{- (a + b) (a - b)}$

Étape 14.3

Associez les exposants.

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Étape 14.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{0 (11 a - 5 b)}{- (a + b) (a - b)}$

Étape 14.3.2

Multipliez $0$ par $11 a - 5 b$ .

$\frac{0}{- (a + b) (a - b)}$

Étape 15

Divisez $0$ par $- (a + b) (a - b)$ .

$0$