Algèbre Exemples

$(\sqrt{2}, \sqrt{12})$ , $(\sqrt{8}, \sqrt{32})$

Étape 1

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$(\sqrt{2}, \sqrt{4 (3)}) - (\sqrt{8}, \sqrt{32})$

Étape 1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(\sqrt{2}, \sqrt{2^{2} \cdot 3}) - (\sqrt{8}, \sqrt{32})$

Étape 2

Extrayez les termes de sous le radical.

$(\sqrt{2}, 2 \sqrt{3}) - (\sqrt{8}, \sqrt{32})$

Étape 3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$(\sqrt{2}, 2 \sqrt{3}) - (\sqrt{4 (2)}, \sqrt{32})$

Étape 3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(\sqrt{2}, 2 \sqrt{3}) - (\sqrt{2^{2} \cdot 2}, \sqrt{32})$

Étape 4

Extrayez les termes de sous le radical.

$(\sqrt{2}, 2 \sqrt{3}) - (2 \sqrt{2}, \sqrt{32})$

Étape 5

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$(\sqrt{2}, 2 \sqrt{3}) - (2 \sqrt{2}, \sqrt{16 (2)})$

Étape 5.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(\sqrt{2}, 2 \sqrt{3}) - (2 \sqrt{2}, \sqrt{4^{2} \cdot 2})$

Étape 6

Extrayez les termes de sous le radical.

$(\sqrt{2}, 2 \sqrt{3}) - (2 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2})$

Étape 7

Utilisez la formule de distance pour déterminer la distance entre les deux points.

$Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Étape 8

Remplacez les valeurs réelles des points dans la formule de distance.

$\sqrt{{(2 \sqrt{2} - \sqrt{2})}^{2} + {(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez les termes.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 9.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 9.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 9.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 9.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 9.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2^{1} + {(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 9.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{2 + {(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 9.1.3

Réécrivez ${(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}^{2}$ comme $(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) (4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})$ .

$\sqrt{2 + (4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) (4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.2

Développez $(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) (4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2 + 4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2 + 4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2}) + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2 + 4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2}) + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.1.1

Multipliez $4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2})$ .

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Étape 9.3.1.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\sqrt{2 + 16 \sqrt{2} \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{2 + 16 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.3.1.1.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{2 + 16 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{2 + 16 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{2 + 16 {\sqrt{2}}^{2} + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{2 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2 + 16 \cdot 2^{1} + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.3.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{2 + 16 \cdot 2 + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.3.1.3

Multipliez $16$ par $2$ .

$\sqrt{2 + 32 + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.3.1.4

Multipliez $4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3})$ .

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Étape 9.3.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{2} \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.3.1.4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{3 \cdot 2} - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.3.1.4.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.3.1.5

Multipliez $- 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2})$ .

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Étape 9.3.1.5.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{3} \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.3.1.5.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{2 \cdot 3} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.3.1.5.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.3.1.6

Multipliez $- 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})$ .

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Étape 9.3.1.6.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 9.3.1.6.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Étape 9.3.1.6.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Étape 9.3.1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 9.3.1.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 9.3.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 \cdot 3^{1}}$

Étape 9.3.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 \cdot 3}$

Étape 9.3.1.8

Multipliez $4$ par $3$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 12}$

Étape 9.3.2

Additionnez $32$ et $12$ .

$\sqrt{2 + 44 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6}}$

Étape 9.3.3

Soustrayez $8 \sqrt{6}$ de $- 8 \sqrt{6}$ .

$\sqrt{2 + 44 - 16 \sqrt{6}}$

Étape 9.4

Additionnez $2$ et $44$ .

$\sqrt{46 - 16 \sqrt{6}}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{46 - 16 \sqrt{6}}$

Forme décimale :

$2.60924589 \dots$

Étape 11