Algèbre Exemples

$8$ , $- 6$ , $\frac{9}{2}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $- \frac{3}{4}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = - \frac{3}{4}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = 8$ et $r = - \frac{3}{4}$ .

$a_{n} = 8 {(- \frac{3}{4})}^{n - 1}$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{4}$ .

$a_{n} = 8 ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{3}{4})}^{n - 1})$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$a_{n} = 8 ({(- 1)}^{n - 1} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}})$

Étape 5

Multipliez ${(- 1)}^{n - 1} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$ .

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Étape 5.1

Associez ${(- 1)}^{n - 1}$ et $\frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$ .

$a_{n} = 8 \frac{{(- 1)}^{n - 1} \cdot 3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Étape 5.2

Réécrivez ${(- 1)}^{n - 1} \cdot 3^{n - 1}$ comme ${(- 1 \cdot 3)}^{n - 1}$ .

$a_{n} = 8 \frac{{(- 1 \cdot 3)}^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$a_{n} = 8 \frac{{(- 3)}^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Étape 6

Associez $8$ et $\frac{{(- 3)}^{n - 1}}{4^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{8 {(- 3)}^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Étape 7

Remplacez dans la valeur de $n$ pour déterminer le $n$ ième terme.

$a_{4} = \frac{8 {(- 3)}^{(4) - 1}}{4^{(4) - 1}}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Soustrayez $1$ de $4$ .

$a_{4} = \frac{8 {(- 3)}^{3}}{4^{4 - 1}}$

Étape 8.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$a_{4} = \frac{8 \cdot - 27}{4^{4 - 1}}$

Étape 9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1

Soustrayez $1$ de $4$ .

$a_{4} = \frac{8 \cdot - 27}{4^{3}}$

Étape 9.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$a_{4} = \frac{8 \cdot - 27}{64}$

Étape 10

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.1

Multipliez $8$ par $- 27$ .

$a_{4} = \frac{- 216}{64}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun à $- 216$ et $64$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez $8$ à partir de $- 216$ .

$a_{4} = \frac{8 (- 27)}{64}$

Étape 10.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $64$ .

$a_{4} = \frac{8 \cdot - 27}{8 \cdot 8}$

Étape 10.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$a_{4} = \frac{8 \cdot - 27}{8 \cdot 8}$

Étape 10.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$a_{4} = \frac{- 27}{8}$

Étape 10.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$a_{4} = - \frac{27}{8}$