Algèbre Exemples

$\frac{1}{2}$ , $\frac{3}{8}$ , $\frac{9}{32}$ , $\frac{27}{128}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $\frac{3}{4}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = \frac{3}{4}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = \frac{1}{2}$ et $r = \frac{3}{4}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} {(\frac{3}{4})}^{n - 1}$

Étape 4

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Étape 5

Associez.

$a_{n} = \frac{1 \cdot 3^{n - 1}}{2 \cdot 4^{n - 1}}$

Étape 6

Multipliez $3^{n - 1}$ par $1$ .

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot 4^{n - 1}}$

Étape 7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot {(2^{2})}^{n - 1}}$

Étape 7.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{n - 1}$ .

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Étape 7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot 2^{2 (n - 1)}}$

Étape 7.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot 2^{2 n + 2 \cdot - 1}}$

Étape 7.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot 2^{2 n - 2}}$

Étape 7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2^{1 + 2 n - 2}}$

Étape 7.4

Soustrayez $2$ de $1$ .

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2^{2 n - 1}}$

Étape 8

Remplacez dans la valeur de $n$ pour déterminer le $n$ ième terme.

$a_{5} = \frac{3^{(5) - 1}}{2^{2 (5) - 1}}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Soustrayez $1$ de $5$ .

$a_{5} = \frac{3^{4}}{2^{2 (5) - 1}}$

Étape 9.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$a_{5} = \frac{81}{2^{2 (5) - 1}}$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$a_{5} = \frac{81}{2^{10 - 1}}$

Étape 10.2

Soustrayez $1$ de $10$ .

$a_{5} = \frac{81}{2^{9}}$

Étape 10.3

Élevez $2$ à la puissance $9$ .

$a_{5} = \frac{81}{512}$