Algèbre Exemples

$- \frac{1}{5}$ , $- \frac{1}{3}$

Étape 1

$x = - \frac{1}{5}$ et $x = - \frac{1}{3}$ sont les deux solutions réelles distinctes de l’équation quadratique, ce qui signifie que $x + \frac{1}{5}$ et $x + \frac{1}{3}$ sont les facteurs de l’équation quadratique.

$(x + \frac{1}{5}) (x + \frac{1}{3}) = 0$

Étape 2

Développez $(x + \frac{1}{5}) (x + \frac{1}{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x + \frac{1}{3}) + \frac{1}{5} \cdot (x + \frac{1}{3}) = 0$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{5} \cdot (x + \frac{1}{3}) = 0$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{5} x + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = 0$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{5} x + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = 0$

Étape 3.1.2

Associez $x$ et $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{5} x + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = 0$

Étape 3.1.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $x$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = 0$

Étape 3.1.4

Multipliez $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} = 0$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{5} + \frac{1}{15} = 0$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{x}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{x}{5} + \frac{1}{15} = 0$

Étape 3.3

Pour écrire $\frac{x}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{x}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{15} = 0$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{x}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{x}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{15} = 0$

Étape 3.4.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot 5}{15} + \frac{x}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{15} = 0$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{x}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot 5}{15} + \frac{x \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{1}{15} = 0$

Étape 3.4.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot 5}{15} + \frac{x \cdot 3}{15} + \frac{1}{15} = 0$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} + \frac{x \cdot 5 + x \cdot 3}{15} + \frac{1}{15} = 0$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} + \frac{x \cdot 5 + x \cdot 3 + 1}{15} = 0$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + \frac{5 \cdot x + x \cdot 3 + 1}{15} = 0$

Étape 5.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + \frac{5 x + 3 x + 1}{15} = 0$

Étape 6

Additionnez $5 x$ et $3 x$ .

$x^{2} + \frac{8 x + 1}{15} = 0$

Étape 7

Pour écrire $x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$x^{2} \cdot \frac{15}{15} + \frac{8 x + 1}{15} = 0$

Étape 8

Associez $x^{2}$ et $\frac{15}{15}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 15}{15} + \frac{8 x + 1}{15} = 0$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 15 + 8 x + 1}{15} = 0$

Étape 10

Factorisez par regroupement.

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Étape 10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{15 x^{2} + 8 x + 1}{15} = 0$

Étape 10.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 15 \cdot 1 = 15$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$\frac{15 x^{2} + 8 (x) + 1}{15} = 0$

Étape 10.2.2

Réécrivez $8$ comme $3$ plus $5$

$\frac{15 x^{2} + (3 + 5) x + 1}{15} = 0$

Étape 10.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 x^{2} + 3 x + 5 x + 1}{15} = 0$

Étape 10.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 10.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(15 x^{2} + 3 x) + 5 x + 1}{15} = 0$

Étape 10.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{3 x (5 x + 1) + 1 (5 x + 1)}{15} = 0$

Étape 10.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x + 1$ .

$\frac{(5 x + 1) (3 x + 1)}{15} = 0$

Étape 11

Développez $(5 x + 1) (3 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1)}{15} = 0$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x (3 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (3 x + 1)}{15} = 0$

Étape 11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x (3 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Étape 12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 \cdot (3 x \cdot x) + 5 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Étape 12.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{5 \cdot (3 (x \cdot x)) + 5 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Étape 12.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{5 \cdot (3 x^{2}) + 5 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Étape 12.1.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Étape 12.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 5 x + 1 (3 x) + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Étape 12.1.5

Multipliez $3 x$ par $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 5 x + 3 x + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Étape 12.1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 5 x + 3 x + 1}{15} = 0$

Étape 12.2

Additionnez $5 x$ et $3 x$ .

$\frac{15 x^{2} + 8 x + 1}{15} = 0$

Étape 13

Divisez la fraction $\frac{15 x^{2} + 8 x + 1}{15}$ en deux fractions.

$\frac{15 x^{2} + 8 x}{15} + \frac{1}{15} = 0$

Étape 14

Divisez la fraction $\frac{15 x^{2} + 8 x}{15}$ en deux fractions.

$\frac{15 x^{2}}{15} + \frac{8 x}{15} + \frac{1}{15} = 0$

Étape 15

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 15.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 x^{2}}{15} + \frac{8 x}{15} + \frac{1}{15} = 0$

Étape 15.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{15} + \frac{1}{15} = 0$

Étape 16

L’équation quadratique standard en utilisant l’ensemble de solutions donné ${- \frac{1}{5}, - \frac{1}{3}}$ est $y = x^{2} + \frac{8 x}{15} + \frac{1}{15}$ .

$y = x^{2} + \frac{8 x}{15} + \frac{1}{15}$

Étape 17