Algèbre Exemples

$\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \frac{16}{243}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $\frac{2}{3}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = \frac{2}{3}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = \frac{1}{3}$ et $r = \frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1}{3} {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

Étape 4

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Étape 5

Associez.

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3 \cdot 3^{n - 1}}$

Étape 6

Multipliez $3$ par $3^{n - 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Multipliez $3$ par $3^{n - 1}$ .

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Étape 6.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{1} \cdot 3^{n - 1}}$

Étape 6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{1 + n - 1}}$

Étape 6.2

Associez les termes opposés dans $1 + n - 1$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{n + 0}}$

Étape 6.2.2

Additionnez $n$ et $0$ .

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{n}}$

Étape 7

Multipliez $2^{n - 1}$ par $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{n - 1}}{3^{n}}$

Étape 8

Cette formule permet de déterminer la somme des $n$ premiers termes de la séquence géométrique. Pour l’évaluer, déterminez les valeurs de $r$ et $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Étape 9

Remplacez les variables par les valeurs connues pour déterminer $S_{5}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{5} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{2^{5}}{3^{5}} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Étape 10.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{3^{5}} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Étape 10.3

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Étape 10.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Étape 10.5

Associez $- 1$ et $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Étape 10.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32 - 1 \cdot 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Étape 10.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.7.1

Multipliez $- 1$ par $243$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32 - 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Étape 10.7.2

Soustrayez $243$ de $32$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{- 211}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Étape 10.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Étape 11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 11.2

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 11.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 11.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2 - 3}{3}}$

Étape 11.4.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{- 1}{3}}$

Étape 11.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{- \frac{1}{3}}$

Étape 12

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 12.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{211}{243}}{\frac{1}{3}}$

Étape 12.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{211}{243} \cdot 3)$

Étape 12.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.3.1

Factorisez $3$ à partir de $\frac{211}{243} \cdot 3$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot \frac{211}{243})$

Étape 12.3.2

Annulez le facteur commun.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot \frac{211}{243})$

Étape 12.3.3

Réécrivez l’expression.

$S_{5} = \frac{211}{243}$