Algèbre Exemples

$\frac{(3 + i) (3 - i)}{- {(2 + 2 i)}^{2}}$

Étape 1

Développez $(3 + i) (3 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 - i) + i (3 - i)}{- {(2 + 2 i)}^{2}}$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- i) + i (3 - i)}{- {(2 + 2 i)}^{2}}$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- i) + i \cdot 3 + i (- i)}{- {(2 + 2 i)}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 + 3 (- i) + i \cdot 3 + i (- i)}{- {(2 + 2 i)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{9 - 3 i + i \cdot 3 + i (- i)}{- {(2 + 2 i)}^{2}}$

Étape 2.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$\frac{9 - 3 i + 3 \cdot i + i (- i)}{- {(2 + 2 i)}^{2}}$

Étape 2.1.4

Multipliez $i (- i)$ .

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Étape 2.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 - 3 i + 3 i - (i^{1} i)}{- {(2 + 2 i)}^{2}}$

Étape 2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 - 3 i + 3 i - (i^{1} i^{1})}{- {(2 + 2 i)}^{2}}$

Étape 2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 - 3 i + 3 i - i^{1 + 1}}{- {(2 + 2 i)}^{2}}$

Étape 2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9 - 3 i + 3 i - i^{2}}{- {(2 + 2 i)}^{2}}$

Étape 2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{9 - 3 i + 3 i - - 1}{- {(2 + 2 i)}^{2}}$

Étape 2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{9 - 3 i + 3 i + 1}{- {(2 + 2 i)}^{2}}$

Étape 2.2

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{10 - 3 i + 3 i}{- {(2 + 2 i)}^{2}}$

Étape 2.3

Additionnez $- 3 i$ et $3 i$ .

$\frac{10 + 0}{- {(2 + 2 i)}^{2}}$

Étape 2.4

Additionnez $10$ et $0$ .

$\frac{10}{- {(2 + 2 i)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez ${(2 + 2 i)}^{2}$ comme $(2 + 2 i) (2 + 2 i)$ .

$\frac{10}{- ((2 + 2 i) (2 + 2 i))}$

Étape 3.2

Développez $(2 + 2 i) (2 + 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10}{- (2 (2 + 2 i) + 2 i (2 + 2 i))}$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10}{- (2 \cdot 2 + 2 (2 i) + 2 i (2 + 2 i))}$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10}{- (2 \cdot 2 + 2 (2 i) + 2 i \cdot 2 + 2 i (2 i))}$

Étape 3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{10}{- (4 + 2 (2 i) + 2 i \cdot 2 + 2 i (2 i))}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{10}{- (4 + 4 i + 2 i \cdot 2 + 2 i (2 i))}$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{10}{- (4 + 4 i + 4 i + 2 i (2 i))}$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $2 i (2 i)$ .

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Étape 3.3.1.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{10}{- (4 + 4 i + 4 i + 4 i i)}$

Étape 3.3.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{10}{- (4 + 4 i + 4 i + 4 (i^{1} i))}$

Étape 3.3.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{10}{- (4 + 4 i + 4 i + 4 (i^{1} i^{1}))}$

Étape 3.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{10}{- (4 + 4 i + 4 i + 4 i^{1 + 1})}$

Étape 3.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{10}{- (4 + 4 i + 4 i + 4 i^{2})}$

Étape 3.3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{10}{- (4 + 4 i + 4 i + 4 \cdot - 1)}$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{10}{- (4 + 4 i + 4 i - 4)}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{10}{- (0 + 4 i + 4 i)}$

Étape 3.3.3

Additionnez $0$ et $4 i$ .

$\frac{10}{- (4 i + 4 i)}$

Étape 3.3.4

Additionnez $4 i$ et $4 i$ .

$\frac{10}{- (8 i)}$

Étape 3.4

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{10}{- 8 i}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $10$ et $- 8$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 (5)}{- 8 i}$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 i$ .

$\frac{2 (5)}{2 (- 4 i)}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 5}{2 (- 4 i)}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{- 4 i}$

Étape 5

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{5}{- 4 i}$ par le conjugué de $- 4 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{5}{- 4 i} \cdot \frac{i}{i}$

Étape 6

Multipliez.

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Étape 6.1

Associez.

$\frac{5 i}{- 4 i i}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{5 i}{- 4 (i i)}$

Étape 6.2.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 i}{- 4 (i^{1} i)}$

Étape 6.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 i}{- 4 (i^{1} i^{1})}$

Étape 6.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 i}{- 4 i^{1 + 1}}$

Étape 6.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 i}{- 4 i^{2}}$

Étape 6.2.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{5 i}{- 4 \cdot - 1}$

Étape 7

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{5 i}{4}$