Algèbre Exemples

$\frac{1}{2}$ , $- 1$ , $2$

Étape 1

Les racines sont les points où le graphe croise l’axe des x $(y = 0)$ .

$y = 0$ aux racines

Étape 2

La racine sur $x = \frac{1}{2}$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (\frac{1}{2}) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - \frac{1}{2}$

Étape 3

La racine sur $x = - 1$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (- 1) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x + 1$

Étape 4

La racine sur $x = 2$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (2) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - 2$

Étape 5

Associez tous les facteurs en une équation unique.

$y = (x - \frac{1}{2}) (x + 1) (x - 2)$

Étape 6

Multipliez tous les facteurs pour simplifier l’équation $y = (x - \frac{1}{2}) (x + 1) (x - 2)$ .

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Étape 6.1

Développez $(x - \frac{1}{2}) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x (x + 1) - \frac{1}{2} \cdot (x + 1)) (x - 2)$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot x + x \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot (x + 1)) (x - 2)$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot x + x \cdot 1 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot 1) (x - 2)$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = (x^{2} + x \cdot 1 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot 1) (x - 2)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = (x^{2} + x - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot 1) (x - 2)$

Étape 6.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = (x^{2} + x - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1) (x - 2)$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = (x^{2} + x - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}) (x - 2)$

Étape 6.2.2

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} + x \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}) (x - 2)$

Étape 6.2.3

Associez $x$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} + \frac{x \cdot 2}{2} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}) (x - 2)$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = (x^{2} + \frac{x \cdot 2 - x}{2} - \frac{1}{2}) (x - 2)$

Étape 6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = (x^{2} + \frac{x \cdot 2 - x - 1}{2}) (x - 2)$

Étape 6.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y = (x^{2} + \frac{2 x - x - 1}{2}) (x - 2)$

Étape 6.5

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$y = (x^{2} + \frac{x - 1}{2}) (x - 2)$

Étape 6.6

Pour écrire $x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x - 1}{2}) (x - 2)$

Étape 6.7

Associez $x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = (\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x - 1}{2}) (x - 2)$

Étape 6.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x^{2} \cdot 2 + x - 1}{2} \cdot (x - 2)$

Étape 6.9

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{2 x^{2} + x - 1}{2} \cdot (x - 2)$

Étape 6.9.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 6.9.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{2 x^{2} + 1 x - 1}{2} \cdot (x - 2)$

Étape 6.9.2.2

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$y = \frac{2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1}{2} \cdot (x - 2)$

Étape 6.9.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1}{2} \cdot (x - 2)$

Étape 6.9.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.9.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{(2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1}{2} \cdot (x - 2)$

Étape 6.9.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{2} \cdot (x - 2)$

Étape 6.9.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{2} \cdot (x - 2)$

Étape 6.10

Simplifiez les termes.

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Étape 6.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{2} \cdot x + \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{2} \cdot - 2$

Étape 6.10.2

Associez $\frac{(2 x - 1) (x + 1)}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{2} \cdot - 2$

Étape 6.10.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.10.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{2} \cdot (2 (- 1))$

Étape 6.10.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 6.10.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 x - 1) (x + 1) \cdot - 1$

Étape 6.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.11.1

Développez $(2 x - 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.11.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 x (x + 1) - 1 (x + 1)) \cdot - 1$

Étape 6.11.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 1 (x + 1)) \cdot - 1$

Étape 6.11.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1) \cdot - 1$

Étape 6.11.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.11.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.11.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1) \cdot - 1$

Étape 6.11.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1) \cdot - 1$

Étape 6.11.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 x^{2} + 2 x - 1 x - 1 \cdot 1) \cdot - 1$

Étape 6.11.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 1) \cdot - 1$

Étape 6.11.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 x^{2} + 2 x - x - 1) \cdot - 1$

Étape 6.11.2.2

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 x^{2} + x - 1) \cdot - 1$

Étape 6.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1$

Étape 6.11.4

Simplifiez

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Étape 6.11.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} - 2 x^{2} + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1$

Étape 6.11.4.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} - 2 x^{2} - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1$

Étape 6.11.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} - 2 x^{2} - 1 \cdot x + 1$

Étape 6.11.5

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} - 2 x^{2} - x + 1$

Étape 6.12

Pour écrire $- 2 x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} - 2 x^{2} \cdot \frac{2}{2} - x + 1$

Étape 6.13

Simplifiez les termes.

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Étape 6.13.1

Associez $- 2 x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + \frac{- 2 x^{2} \cdot 2}{2} - x + 1$

Étape 6.13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x - 2 x^{2} \cdot 2}{2} - x + 1$

Étape 6.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.14.1

Factorisez $x$ à partir de $(2 x - 1) (x + 1) x - 2 x^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.14.1.1

Factorisez $x$ à partir de $(2 x - 1) (x + 1) x$ .

$y = \frac{x ((2 x - 1) (x + 1)) - 2 x^{2} \cdot 2}{2} - x + 1$

Étape 6.14.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{x ((2 x - 1) (x + 1)) + x (- 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Étape 6.14.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x ((2 x - 1) (x + 1)) + x (- 2 x \cdot 2)$ .

$y = \frac{x ((2 x - 1) (x + 1) - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Étape 6.14.2

Développez $(2 x - 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.14.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x (2 x (x + 1) - 1 (x + 1) - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Étape 6.14.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x (2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 1 (x + 1) - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Étape 6.14.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x (2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Étape 6.14.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.14.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.14.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.14.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{x (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Étape 6.14.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Étape 6.14.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} + 2 x - 1 x - 1 \cdot 1 - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Étape 6.14.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 1 - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Étape 6.14.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} + 2 x - x - 1 - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Étape 6.14.3.2

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} + x - 1 - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Étape 6.14.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} + x - 1 - 4 x)}{2} - x + 1$

Étape 6.14.5

Soustrayez $4 x$ de $x$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 1)}{2} - x + 1$

Étape 6.15

Pour écrire $- x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 1)}{2} - x \cdot \frac{2}{2} + 1$

Étape 6.16

Simplifiez les termes.

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Étape 6.16.1

Associez $- x$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 1)}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} + 1$

Étape 6.16.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 1) - x \cdot 2}{2} + 1$

Étape 6.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.17.1

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{2} - 3 x - 1) - x \cdot 2$ .

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Étape 6.17.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x \cdot 2$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 1) + x (- 1 \cdot 2)}{2} + 1$

Étape 6.17.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{2} - 3 x - 1) + x (- 1 \cdot 2)$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 1 - 1 \cdot 2)}{2} + 1$

Étape 6.17.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 1 - 2)}{2} + 1$

Étape 6.17.3

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 3)}{2} + 1$

Étape 6.18

Associez en une fraction.

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Étape 6.18.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 3)}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 6.18.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 3) + 2}{2}$

Étape 6.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.19.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x (2 x^{2}) + x (- 3 x) + x \cdot - 3 + 2}{2}$

Étape 6.19.2

Simplifiez

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Étape 6.19.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{2 x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 3 + 2}{2}$

Étape 6.19.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{2 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot x + x \cdot - 3 + 2}{2}$

Étape 6.19.2.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{2 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot x - 3 \cdot x + 2}{2}$

Étape 6.19.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.19.3.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.19.3.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = \frac{2 (x^{2} x) - 3 x \cdot x - 3 \cdot x + 2}{2}$

Étape 6.19.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.19.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{2 (x^{2} x) - 3 x \cdot x - 3 \cdot x + 2}{2}$

Étape 6.19.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{2 x^{2 + 1} - 3 x \cdot x - 3 \cdot x + 2}{2}$

Étape 6.19.3.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 3 x \cdot x - 3 \cdot x + 2}{2}$

Étape 6.19.3.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.19.3.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 3 (x \cdot x) - 3 \cdot x + 2}{2}$

Étape 6.19.3.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 \cdot x + 2}{2}$

$y = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2}{2}$

Étape 6.19.4

Réécrivez $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ en forme factorisée.

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Étape 6.19.4.1

Factorisez $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 6.19.4.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 6.19.4.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 2$

Étape 6.19.4.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 6.19.4.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$2 {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 2$

Étape 6.19.4.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 1 - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 2$

Étape 6.19.4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 2$

Étape 6.19.4.1.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 2 - 3 \cdot 1 - 3 \cdot - 1 + 2$

Étape 6.19.4.1.3.5

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 2 - 3 - 3 \cdot - 1 + 2$

Étape 6.19.4.1.3.6

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$- 5 - 3 \cdot - 1 + 2$

Étape 6.19.4.1.3.7

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 5 + 3 + 2$

Étape 6.19.4.1.3.8

Additionnez $- 5$ et $3$ .

$- 2 + 2$

Étape 6.19.4.1.3.9

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$0$

Étape 6.19.4.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2}{x + 1}$

Étape 6.19.4.1.5

Divisez $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ par $x + 1$ .

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Étape 6.19.4.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

Étape 6.19.4.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

Étape 6.19.4.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 6.19.4.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 6.19.4.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Étape 6.19.4.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 6.19.4.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 5 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 6.19.4.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Étape 6.19.4.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 5 x^{2} - 5 x$

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Étape 6.19.4.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$

Étape 6.19.4.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Étape 6.19.4.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Étape 6.19.4.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Étape 6.19.4.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x + 2$

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Étape 6.19.4.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Étape 6.19.4.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - 5 x + 2$

Étape 6.19.4.1.6

Écrivez $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ comme un ensemble de facteurs.

$y = \frac{(x + 1) (2 x^{2} - 5 x + 2)}{2}$

Étape 6.19.4.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.19.4.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 6.19.4.2.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 x$ .

$y = \frac{(x + 1) (2 x^{2} - 5 x + 2)}{2}$

Étape 6.19.4.2.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1$ plus $- 4$

$y = \frac{(x + 1) (2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2)}{2}$

Étape 6.19.4.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(x + 1) (2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2)}{2}$

Étape 6.19.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.19.4.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{(x + 1) ((2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2)}{2}$

Étape 6.19.4.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{(x + 1) (x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1))}{2}$

Étape 6.19.4.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$y = \frac{(x + 1) ((2 x - 1) (x - 2))}{2}$

$y = \frac{(x + 1) (2 x - 1) (x - 2)}{2}$

Étape 6.20

Développez $(x + 1) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.20.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) (x - 2)}{2}$

Étape 6.20.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)) (x - 2)}{2}$

Étape 6.20.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1) (x - 2)}{2}$

Étape 6.21

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.21.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.21.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{(2 x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1) (x - 2)}{2}$

Étape 6.21.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.21.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{(2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1) (x - 2)}{2}$

Étape 6.21.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{(2 x^{2} + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1) (x - 2)}{2}$

Étape 6.21.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{(2 x^{2} - 1 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1) (x - 2)}{2}$

Étape 6.21.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = \frac{(2 x^{2} - x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1) (x - 2)}{2}$

Étape 6.21.1.5

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$y = \frac{(2 x^{2} - x + 2 x + 1 \cdot - 1) (x - 2)}{2}$

Étape 6.21.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{(2 x^{2} - x + 2 x - 1) (x - 2)}{2}$

Étape 6.21.2

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$y = \frac{(2 x^{2} + x - 1) (x - 2)}{2}$

Étape 6.22

Développez $(2 x^{2} + x - 1) (x - 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 2 + x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2}{2}$

Étape 6.23

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.23.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.23.1.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 + x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2}{2}$

Étape 6.23.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.23.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 + x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2}{2}$

Étape 6.23.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 2 + x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2}{2}$

Étape 6.23.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 + x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2}{2}$

Étape 6.23.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2}{2}$

Étape 6.23.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + x^{2} + x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2}{2}$

Étape 6.23.4

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + x^{2} - 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 2}{2}$

Étape 6.23.5

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + x^{2} - 2 x - x - 1 \cdot - 2}{2}$

Étape 6.23.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + x^{2} - 2 x - x + 2}{2}$

Étape 6.24

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x - x + 2}{2}$

Étape 6.25

Soustrayez $x$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2}{2}$

Étape 6.26

Divisez la fraction $\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2}{2}$ en deux fractions.

$y = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 6.27

Divisez la fraction $\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x}{2}$ en deux fractions.

$y = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 6.28

Divisez la fraction $\frac{2 x^{3} - 3 x^{2}}{2}$ en deux fractions.

$y = \frac{2 x^{3}}{2} + \frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 6.29

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.29.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 x^{3}}{2} + \frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 6.29.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 6.30

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = x^{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 6.31

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = x^{3} - \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 6.32

Divisez $2$ par $2$ .

$y = x^{3} - \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{3 x}{2} + 1$

Étape 7