Algèbre Exemples

$\csc^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \cot^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\csc^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$1 + \cot^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 3

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 3.1

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)$

Étape 3.2

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 3.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4

Écrivez $1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{1} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5

Additionnez des fractions.

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Étape 5.1

Pour écrire $\frac{1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{1}$ par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{(1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

$\frac{\cos^{2} (x) + \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7

Écrivez $\cos^{2} (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{1} + \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8

Additionnez des fractions.

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Étape 8.1

Pour écrire $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ par $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 9

Écrivez $\sin^{2} (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 10

Additionnez des fractions.

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Étape 10.1

Pour écrire $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 10.2

Multipliez $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ par $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 10.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x) + \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 11

Multipliez ${\sin (x)}^{2}$ par ${\sin (x)}^{2}$ en additionnant les exposants.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 12

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{\frac{(1 - \sin^{2} (x)) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{(1 - {\sin (x)}^{2}) {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 13.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 13.2.2

Multipliez ${\sin (x)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 13.2.3

Multipliez ${\sin (x)}^{2}$ par ${\sin (x)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.2.3.1

Déplacez ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} - ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}) + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 13.2.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2 + 2} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 13.2.3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 13.2.4

Additionnez $- {\sin (x)}^{4}$ et ${\sin (x)}^{4}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4} + 0}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 13.2.5

Additionnez ${\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}$ et $0$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 13.3

Multipliez $\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}}$ par $\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\cos^{4} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 15

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$\cot^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 16

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 16.1

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + \sec^{2} (x)$

Étape 16.2

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 16.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 16.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 17

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 18

Additionnez des fractions.

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Étape 18.1

Pour écrire $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 18.2

Pour écrire $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 18.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 18.3.1

Multipliez $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 18.3.2

Multipliez $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ par $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 18.3.3

Réorganisez les facteurs de $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 18.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 19

Multipliez ${\cos (x)}^{2}$ par ${\cos (x)}^{2}$ en additionnant les exposants.

$\frac{\cos^{4} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 20

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\csc^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \cot^{2} (x) + \sec^{2} (x)$ est une identité