Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{2^{- 8} x^{- 4} y^{2}}{2^{- 5} x^{- 7} y^{4}}$

Étape 1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{1}{2^{8}} x^{- 4} y^{2}}{2^{- 5} x^{- 7} y^{4}}]$

Étape 2

Élevez $2$ à la puissance $8$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{1}{256} x^{- 4} y^{2}}{2^{- 5} x^{- 7} y^{4}}]$

Étape 3

Associez $\frac{1}{256}$ et $x^{- 4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{x^{- 4}}{256} y^{2}}{2^{- 5} x^{- 7} y^{4}}]$

Étape 4

Associez $\frac{x^{- 4}}{256}$ et $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{x^{- 4} y^{2}}{256}}{2^{- 5} x^{- 7} y^{4}}]$

Étape 5

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{y^{2}}{256 x^{4}}}{2^{- 5} x^{- 7} y^{4}}]$

Étape 6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{y^{2}}{256 x^{4}}}{\frac{1}{2^{5}} x^{- 7} y^{4}}]$

Étape 7

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{y^{2}}{256 x^{4}}}{\frac{1}{32} x^{- 7} y^{4}}]$

Étape 8

Associez $\frac{1}{32}$ et $x^{- 7}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{y^{2}}{256 x^{4}}}{\frac{x^{- 7}}{32} y^{4}}]$

Étape 9

Associez $\frac{x^{- 7}}{32}$ et $y^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{y^{2}}{256 x^{4}}}{\frac{x^{- 7} y^{4}}{32}}]$

Étape 10

Placez $x^{- 7}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{y^{2}}{256 x^{4}}}{\frac{y^{4}}{32 x^{7}}}]$

Étape 11

Réécrivez $\frac{\frac{y^{2}}{256 x^{4}}}{\frac{y^{4}}{32 x^{7}}}$ comme un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{256 x^{4}} \cdot \frac{1}{\frac{y^{4}}{32 x^{7}}}]$

Étape 12

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{y^{4}}{32 x^{7}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{256 x^{4}} (1 \frac{32 x^{7}}{y^{4}})]$

Étape 13

Simplifiez les termes.

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Étape 13.1

Multipliez $\frac{32 x^{7}}{y^{4}}$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{256 x^{4}} \cdot \frac{32 x^{7}}{y^{4}}]$

Étape 13.2

Multipliez $\frac{y^{2}}{256 x^{4}}$ par $\frac{32 x^{7}}{y^{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2} (32 x^{7})}{256 x^{4} y^{4}}]$

Étape 13.3

Déplacez $32$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{32 \cdot y^{2} x^{7}}{256 x^{4} y^{4}}]$

Étape 13.4

Annulez le facteur commun à $32$ et $256$ .

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Étape 13.4.1

Factorisez $32$ à partir de $32 y^{2} x^{7}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{32 (y^{2} x^{7})}{256 x^{4} y^{4}}]$

Étape 13.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.2.1

Factorisez $32$ à partir de $256 x^{4} y^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{32 (y^{2} x^{7})}{32 (8 x^{4} y^{4})}]$

Étape 13.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{32 (y^{2} x^{7})}{32 (8 x^{4} y^{4})}]$

Étape 13.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2} x^{7}}{8 x^{4} y^{4}}]$

Étape 13.5

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y^{4}$ .

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Étape 13.5.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} x^{7}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2} (x^{7})}{8 x^{4} y^{4}}]$

Étape 13.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.5.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $8 x^{4} y^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2} (x^{7})}{y^{2} (8 x^{4} y^{2})}]$

Étape 13.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2} x^{7}}{y^{2} (8 x^{4} y^{2})}]$

Étape 13.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{8 x^{4} y^{2}}]$

Étape 13.6

Annulez le facteur commun à $x^{7}$ et $x^{4}$ .

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Étape 13.6.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{7}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4} x^{3}}{8 x^{4} y^{2}}]$

Étape 13.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.6.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $8 x^{4} y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4} x^{3}}{x^{4} (8 y^{2})}]$

Étape 13.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4} x^{3}}{x^{4} (8 y^{2})}]$

Étape 13.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{8 y^{2}}]$

Étape 14

Comme $\frac{1}{8 y^{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{8 y^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{8 y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{8 y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{8 y^{2}} (3 x^{2})$

Étape 16

Associez les fractions.

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Étape 16.1

Associez $3$ et $\frac{1}{8 y^{2}}$ .

$\frac{3}{8 y^{2}} x^{2}$

Étape 16.2

Associez $\frac{3}{8 y^{2}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{8 y^{2}}$