Algèbre Exemples

$\frac{3}{2}$ , $\frac{1}{4}$

Étape 1

$x = \frac{3}{2}$ et $x = \frac{1}{4}$ sont les deux solutions réelles distinctes de l’équation quadratique, ce qui signifie que $x - \frac{3}{2}$ et $x - \frac{1}{4}$ sont les facteurs de l’équation quadratique.

$(x - \frac{3}{2}) (x - \frac{1}{4}) = 0$

Étape 2

Développez $(x - \frac{3}{2}) (x - \frac{1}{4})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - \frac{1}{4}) - \frac{3}{2} \cdot (x - \frac{1}{4}) = 0$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x (- \frac{1}{4}) - \frac{3}{2} \cdot (x - \frac{1}{4}) = 0$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x (- \frac{1}{4}) - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{4}) = 0$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x (- \frac{1}{4}) - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{4}) = 0$

Étape 3.1.2

Associez $x$ et $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{4}) = 0$

Étape 3.1.3

Associez $x$ et $\frac{3}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{4}) = 0$

Étape 3.1.4

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 \cdot x}{2} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{4}) = 0$

Étape 3.1.5

Multipliez $- \frac{3}{2} (- \frac{1}{4})$ .

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x}{2} + 1 (\frac{3}{2}) \cdot \frac{1}{4} = 0$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} = 0$

Étape 3.1.5.3

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2 \cdot 4} = 0$

Étape 3.1.5.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 3.2

Pour écrire $- \frac{3 x}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{3 x}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x \cdot 2}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} + \frac{- x - 3 x \cdot 2}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 3.5

Pour écrire $x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- x - 3 x \cdot 2}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 3.6

Associez $x^{2}$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{4} + \frac{- x - 3 x \cdot 2}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 3.8

Pour écrire $\frac{x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 3.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.9.1

Multipliez $\frac{x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 3.9.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{(x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2) \cdot 2}{8} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2) \cdot 2 + 3}{8} = 0$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{(4 \cdot x^{2} - x - 3 x \cdot 2) \cdot 2 + 3}{8} = 0$

Étape 4.1.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{(4 x^{2} - x - 6 x) \cdot 2 + 3}{8} = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $6 x$ de $- x$ .

$\frac{(4 x^{2} - 7 x) \cdot 2 + 3}{8} = 0$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} \cdot 2 - 7 x \cdot 2 + 3}{8} = 0$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 7 x \cdot 2 + 3}{8} = 0$

Étape 4.5

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$\frac{8 x^{2} - 14 x + 3}{8} = 0$

Étape 4.6

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ et dont la somme est $b = - 14$ .

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Étape 4.6.1.1

Factorisez $- 14$ à partir de $- 14 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 14 x + 3}{8} = 0$

Étape 4.6.1.2

Réécrivez $- 14$ comme $- 2$ plus $- 12$

$\frac{8 x^{2} + (- 2 - 12) x + 3}{8} = 0$

Étape 4.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x^{2} - 2 x - 12 x + 3}{8} = 0$

Étape 4.6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(8 x^{2} - 2 x) - 12 x + 3}{8} = 0$

Étape 4.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 x (4 x - 1) - 3 (4 x - 1)}{8} = 0$

Étape 4.6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x - 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x - 3)}{8} = 0$

Étape 5

Développez $(4 x - 1) (2 x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x (2 x - 3) - 1 (2 x - 3)}{8} = 0$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 3 - 1 (2 x - 3)}{8} = 0$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 \cdot (2 x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Étape 6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 \cdot (2 (x \cdot x)) + 4 x \cdot - 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 \cdot (2 x^{2}) + 4 x \cdot - 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Étape 6.1.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 12 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Étape 6.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 12 x - 2 x - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Étape 6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} - 12 x - 2 x + 3}{8} = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $2 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 14 x + 3}{8} = 0$

Étape 7

Divisez la fraction $\frac{8 x^{2} - 14 x + 3}{8}$ en deux fractions.

$\frac{8 x^{2} - 14 x}{8} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 8

Divisez la fraction $\frac{8 x^{2} - 14 x}{8}$ en deux fractions.

$\frac{8 x^{2}}{8} + \frac{- 14 x}{8} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x^{2}}{8} + \frac{- 14 x}{8} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 9.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{- 14 x}{8} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 10

Annulez le facteur commun à $- 14$ et $8$ .

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Étape 10.1

Factorisez $2$ à partir de $- 14 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 7 x)}{8} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 7 x)}{2 (4)} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 10.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{2 (- 7 x)}{2 \cdot 4} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 10.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + \frac{- 7 x}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} - \frac{7 x}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Étape 12

L’équation quadratique standard en utilisant l’ensemble de solutions donné ${\frac{3}{2}, \frac{1}{4}}$ est $y = x^{2} - \frac{7 x}{4} + \frac{3}{8}$ .

$y = x^{2} - \frac{7 x}{4} + \frac{3}{8}$

Étape 13