Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{6 x}{x^{2} - 16}$

Étape 1

Déterminez si la fonction est impaire, paire ou ni l’un ni l’autre pour déterminer la symétrie.

1. S’il est impair, la fonction est symétrique par rapport à l’origine.

2. S’il est pair, la fonction est symétrique par rapport à l’ordonnée.

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (x) = \frac{6 x}{x^{2} - 4^{2}}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$f (x) = \frac{6 x}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 3

Déterminez $f (- x)$ .

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Étape 3.1

Déterminez $f (- x)$ en remplaçant $- x$ pour toutes les occurrences de $x$ dans $f (x)$ .

$f (- x) = \frac{6 (- x)}{((- x) + 4) ((- x) - 4)}$

Étape 3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f (- x) = \frac{- 6 x}{(- x + 4) (- x - 4)}$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- x) = - \frac{(6) x}{(- x + 4) (- x - 4)}$

Étape 3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f (- x) = - \frac{6 x}{(- (x) + 4) (- x - 4)}$

Étape 3.4

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$f (- x) = - \frac{6 x}{(- (x) - 1 \cdot - 4) (- x - 4)}$

Étape 3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$f (- x) = - \frac{6 x}{- (x - 4) (- x - 4)}$

Étape 3.6

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$f (- x) = - \frac{6 x}{- 1 (x - 4) (- x - 4)}$

Étape 3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f (- x) = - \frac{6 x}{- 1 (x - 4) (- (x) - 4)}$

Étape 3.8

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$f (- x) = - \frac{6 x}{- 1 (x - 4) (- (x) - 1 \cdot 4)}$

Étape 3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (4)$ .

$f (- x) = - \frac{6 x}{- 1 (x - 4) (- (x + 4))}$

Étape 3.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.10.1

Réécrivez $- (x + 4)$ comme $- 1 (x + 4)$ .

$f (- x) = - \frac{6 x}{- 1 (x - 4) (- 1 (x + 4))}$

Étape 3.10.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- x) = - \frac{6 x}{1 (x - 4) (x + 4)}$

Étape 3.10.3

Multipliez $x - 4$ par $1$ .

$f (- x) = - \frac{6 x}{(x - 4) (x + 4)}$

Étape 4

Une fonction est paire si $f (- x) = f (x)$ .

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Étape 4.1

Vérifiez si $f (- x) = f (x)$ .

Étape 4.2

Comme $- \frac{6 x}{(x - 4) (x + 4)}$ $\neq$ $\frac{6 x}{(x + 4) (x - 4)}$ , la fonction n’est pas paire.

La fonction n’est pas paire

Étape 5

Une fonction est impaire si $f (- x) = - f (x)$ .

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $\frac{6 x}{(x + 4) (x - 4)}$ .

$- f (x) = - \frac{6 x}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 5.2

Comme $- \frac{6 x}{(x - 4) (x + 4)} = - \frac{6 x}{(x + 4) (x - 4)}$ , la fonction est impaire.

La fonction est impaire

Étape 6

Comme la fonction est impaire, elle est symétrique par rapport à l’origine.

Symétrie par rapport à l’origine

Étape 7

Comme la fonction n’est pas paire, elle n’est pas symétrique par rapport à l’ordonnée.

Aucune symétrie par rapport à l’ordonnée

Étape 8

Déterminez la symétrie de la fonction.

Symétrie par rapport à l’origine

Étape 9