Algèbre Exemples

$f (x) = x^{5} - 16 x^{4} + 64 x^{3}$

Étape 1

Définissez $x^{5} - 16 x^{4} + 64 x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{5} - 16 x^{4} + 64 x^{3} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5} - 16 x^{4} + 64 x^{3}$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5}$ .

$x^{3} x^{2} - 16 x^{4} + 64 x^{3} = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 16 x^{4}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 16 x) + 64 x^{3} = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $64 x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 16 x) + x^{3} \cdot 64 = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x^{2} + x^{3} (- 16 x)$ .

$x^{3} (x^{2} - 16 x) + x^{3} \cdot 64 = 0$

Étape 2.1.1.5

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (x^{2} - 16 x) + x^{3} \cdot 64$ .

$x^{3} (x^{2} - 16 x + 64) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x^{3} (x^{2} - 16 x + 8^{2}) = 0$

Étape 2.1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Étape 2.1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{3} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Étape 2.1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 8$ .

$x^{3} {(x - 8)}^{2} = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

${(x - 8)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 2.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez ${(x - 8)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez ${(x - 8)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 8)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez ${(x - 8)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Définissez le $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 2.4.2.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{3} {(x - 8)}^{2} = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = 0$ (Multiplicité de $3$ )

$x = 8$ (Multiplicité de $2$ )

$x = 0$ (Multiplicité de $3$ )

$x = 8$ (Multiplicité de $2$ )

Étape 3