Algèbre Exemples

$x^{4} + x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18$

Étape 1

Définissez $x^{4} + x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18$ égal à $0$ .

$x^{4} + x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 18 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$x^{3} - 9 x + x^{4} - 11 x^{2} + 18 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 9 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 9 x + x^{4} - 11 x^{2} + 18 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 9 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 9 + x^{4} - 11 x^{2} + 18 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$x (x^{2} - 9) + x^{4} - 11 x^{2} + 18 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 11 x^{2} + 18 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez.

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Étape 2.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 11 x^{2} + 18 = 0$

Étape 2.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 11 x^{2} + 18 = 0$

Étape 2.1.5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} + 18 = 0$

Étape 2.1.6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 11 u + 18 = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $u^{2} - 11 u + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 9, - 2$

Étape 2.1.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 2) = 0$

Étape 2.1.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 2) = 0$

Étape 2.1.9

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 2) = 0$

Étape 2.1.10

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2) = 0$

Étape 2.1.11

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2)$ .

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Étape 2.1.11.1

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2) = 0$

Étape 2.1.11.2

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $(x + 3) (x - 3) (x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x + x^{2} - 2) = 0$

Étape 2.1.12

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x + 3) (x - 3) (u + u^{2} - 2) = 0$

Étape 2.1.13

Factorisez $u + u^{2} - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.13.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 2.1.13.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 1) (u + 2)) = 0$

Étape 2.1.14

Factorisez.

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Étape 2.1.14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Étape 2.1.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 2) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.6

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 2) = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = - 3$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 3$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 1$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 2$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 3$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 3$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 1$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 2$ (Multiplicité de $1$ )

Étape 3