Algèbre Exemples

$x^{2} - 5 x + 6 = y$ , $(0, 3)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $y = x^{2} - 5 x + 6$ .

$y = x^{2} - 5 x + 6$

Étape 2

Le théorème de la valeur intermédiaire indique que, si $f$ est une fonction continue à valeur réelle sur l’intervalle $[a, b]$ et si $u$ est un nombre compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , alors il y a un $c$ contenu dans l’intervalle $[a, b]$ de sorte que $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Calculez $f (a) = f (0) = {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 6$ .

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 6$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 6$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $6$ .

$f (0) = 6$

Étape 5

Calculez $f (b) = f (3) = {(3)}^{2} - 5 \cdot 3 + 6$ .

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = 9 - 5 \cdot 3 + 6$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$f (3) = 9 - 15 + 6$

Étape 5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $15$ de $9$ .

$f (3) = - 6 + 6$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$f (3) = 0$

Étape 6

Comme $0$ est sur l’intervalle $[0, 6]$ , résolvez l’équation pour $x$ à la racine en définissant $y$ sur $0$ dans $y = x^{2} - 5 x + 6$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Étape 6.2

Factorisez $x^{2} - 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 6.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 6.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 3, 2$

Étape 7

Le théorème de la valeur intermédiaire indique qu’il y a une racine $f (c) = 0$ sur l’intervalle $[0, 6]$ car $f$ est une fonction continue sur $[0, 3]$ .

Les racines sur l’intervalle $[0, 3]$ se situent sur $x = 2$ .

Étape 8