Algèbre Exemples

${(d - 5 y)}^{6}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(d - 5 y)}^{6}$ , $n = 6$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $7$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $d$ et $b$ $- 5 y$ dans l’expression.

$1 {(d)}^{6} {(- 5 y)}^{0} + 6 {(d)}^{5} {(- 5 y)}^{1} + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(d)}^{6}$ par $1$ .

${(d)}^{6} {(- 5 y)}^{0} + 6 {(d)}^{5} {(- 5 y)}^{1} + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $- 5 y$ .

$d^{6} ({(- 5)}^{0} y^{0}) + 6 {(d)}^{5} {(- 5 y)}^{1} + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(- 5)}^{0} d^{6} y^{0} + 6 {(d)}^{5} {(- 5 y)}^{1} + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 d^{6} y^{0} + 6 {(d)}^{5} {(- 5 y)}^{1} + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.5

Multipliez $d^{6}$ par $1$ .

$d^{6} y^{0} + 6 {(d)}^{5} {(- 5 y)}^{1} + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$d^{6} \cdot 1 + 6 {(d)}^{5} {(- 5 y)}^{1} + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.7

Multipliez $d^{6}$ par $1$ .

$d^{6} + 6 {(d)}^{5} {(- 5 y)}^{1} + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.8

Simplifiez

$d^{6} + 6 d^{5} (- 5 y) + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$d^{6} + 6 \cdot - 5 d^{5} y + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.10

Multipliez $6$ par $- 5$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.11

Appliquez la règle de produit à $- 5 y$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 15 d^{4} ({(- 5)}^{2} y^{2}) + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$d^{6} - 30 d^{5} y + 15 \cdot {(- 5)}^{2} d^{4} y^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.13

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 15 \cdot 25 d^{4} y^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.14

Multipliez $15$ par $25$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.15

Appliquez la règle de produit à $- 5 y$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} + 20 d^{3} ({(- 5)}^{3} y^{3}) + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.16

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} + 20 \cdot {(- 5)}^{3} d^{3} y^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.17

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} + 20 \cdot - 125 d^{3} y^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.18

Multipliez $20$ par $- 125$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.19

Appliquez la règle de produit à $- 5 y$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 15 d^{2} ({(- 5)}^{4} y^{4}) + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.20

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 15 \cdot {(- 5)}^{4} d^{2} y^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.21

Élevez $- 5$ à la puissance $4$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 15 \cdot 625 d^{2} y^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.22

Multipliez $15$ par $625$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.23

Simplifiez

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} + 6 d {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.24

Appliquez la règle de produit à $- 5 y$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} + 6 d ({(- 5)}^{5} y^{5}) + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.25

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} + 6 \cdot {(- 5)}^{5} d y^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.26

Élevez $- 5$ à la puissance $5$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} + 6 \cdot - 3125 d y^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.27

Multipliez $6$ par $- 3125$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} - 18750 d y^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.28

Multipliez ${(d)}^{0}$ par $1$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} - 18750 d y^{5} + {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.29

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} - 18750 d y^{5} + 1 {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.30

Multipliez ${(- 5 y)}^{6}$ par $1$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} - 18750 d y^{5} + {(- 5 y)}^{6}$

Étape 4.31

Appliquez la règle de produit à $- 5 y$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} - 18750 d y^{5} + {(- 5)}^{6} y^{6}$

Étape 4.32

Élevez $- 5$ à la puissance $6$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} - 18750 d y^{5} + 15625 y^{6}$