Algèbre Exemples

$\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}} = 3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}})$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}) = \sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}$ .

$3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}) = \sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}) = \sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}$ par $3 x^{2} y$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}) = \sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}$ par $3 x^{2} y$ .

$\frac{3 x^{2} y \sqrt[3]{6 y^{d}}}{3 x^{2} y} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2} y \sqrt[3]{6 y^{d}}}{3 x^{2} y} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} y \sqrt[3]{6 y^{d}}}{x^{2} y} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y \sqrt[3]{6 y^{d}}}{x^{2} y} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \sqrt[3]{6 y^{d}}}{y} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \sqrt[3]{6 y^{d}}}{y} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Étape 2.2.3.2

Divisez $\sqrt[3]{6 y^{d}}$ par $1$ .

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez $162 x^{c} y^{5}$ comme ${(3 y)}^{3} \cdot (6 x^{c} y^{2})$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Factorisez $27$ à partir de $162$ .

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{27 (6) x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Étape 2.3.1.1.2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 6 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Étape 2.3.1.1.3

Factorisez $y^{3}$ .

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 6 x^{c} (y^{3} y^{2})}}{3 x^{2} y}$

Étape 2.3.1.1.4

Déplacez $x^{c}$ .

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 6 y^{3} x^{c} y^{2}}}{3 x^{2} y}$

Étape 2.3.1.1.5

Déplacez $6$ .

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{3^{3} y^{3} \cdot 6 x^{c} y^{2}}}{3 x^{2} y}$

Étape 2.3.1.1.6

Réécrivez $3^{3} y^{3}$ comme ${(3 y)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{{(3 y)}^{3} \cdot 6 x^{c} y^{2}}}{3 x^{2} y}$

Étape 2.3.1.1.7

Ajoutez des parenthèses.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{{(3 y)}^{3} \cdot 6 (x^{c} y^{2})}}{3 x^{2} y}$

Étape 2.3.1.1.8

Ajoutez des parenthèses.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{{(3 y)}^{3} \cdot (6 x^{c} y^{2})}}{3 x^{2} y}$

Étape 2.3.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{3 y \sqrt[3]{6 x^{c} y^{2}}}{3 x^{2} y}$

Étape 2.3.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{3 y \sqrt[3]{6 x^{c} y^{2}}}{3 x^{2} y}$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{y \sqrt[3]{6 x^{c} y^{2}}}{x^{2} y}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{y \sqrt[3]{6 x^{c} y^{2}}}{x^{2} y}$

Étape 2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{6 x^{c} y^{2}}}{x^{2}}$

Étape 2.3.2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{6 x^{c} y^{2}}}{x^{2}}$ .

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}}$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{6 y^{d}}}^{3} = {(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{6 y^{d}}$ comme ${(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${({(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 y^{d})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(6 y^{d})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(6 y^{d})}^{1} = {(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez

$6 y^{d} = {(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez ${(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$ .

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Étape 4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}}$ .

$6 y^{d} = \frac{{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}^{3}}{{(x^{2})}^{3}}$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}^{3}$ comme $6 y^{2} x^{c}$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}$ comme ${(6 y^{2} x^{c})}^{\frac{1}{3}}$ .

$6 y^{d} = \frac{{({(6 y^{2} x^{c})}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{{(x^{2})}^{3}}$

Étape 4.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 y^{d} = \frac{{(6 y^{2} x^{c})}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{{(x^{2})}^{3}}$

Étape 4.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$6 y^{d} = \frac{{(6 y^{2} x^{c})}^{\frac{3}{3}}}{{(x^{2})}^{3}}$

Étape 4.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$6 y^{d} = \frac{{(6 y^{2} x^{c})}^{\frac{3}{3}}}{{(x^{2})}^{3}}$

Étape 4.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$6 y^{d} = \frac{{(6 y^{2} x^{c})}^{1}}{{(x^{2})}^{3}}$

Étape 4.3.1.2.5

Simplifiez

$6 y^{d} = \frac{6 y^{2} x^{c}}{{(x^{2})}^{3}}$

Étape 4.3.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 4.3.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 y^{d} = \frac{6 y^{2} x^{c}}{x^{2 \cdot 3}}$

Étape 4.3.1.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 y^{d} = \frac{6 y^{2} x^{c}}{x^{6}}$

Étape 4.3.1.4

Annulez le facteur commun à $x^{c}$ et $x^{6}$ .

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Étape 4.3.1.4.1

Factorisez $x^{6}$ à partir de $6 y^{2} x^{c}$ .

$6 y^{d} = \frac{x^{6} (6 y^{2} x^{c - 6})}{x^{6}}$

Étape 4.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.1.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$6 y^{d} = \frac{x^{6} (6 y^{2} x^{c - 6})}{x^{6} \cdot 1}$

Étape 4.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 y^{d} = \frac{x^{6} (6 y^{2} x^{c - 6})}{x^{6} \cdot 1}$

Étape 4.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 y^{d} = \frac{6 y^{2} x^{c - 6}}{1}$

Étape 4.3.1.4.2.4

Divisez $6 y^{2} x^{c - 6}$ par $1$ .

$6 y^{d} = 6 y^{2} x^{c - 6}$

Étape 5

Résolvez $d$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $6 y^{d} = 6 y^{2} x^{c - 6}$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $6 y^{d} = 6 y^{2} x^{c - 6}$ par $6$ .

$\frac{6 y^{d}}{6} = \frac{6 y^{2} x^{c - 6}}{6}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y^{d}}{6} = \frac{6 y^{2} x^{c - 6}}{6}$

Étape 5.1.2.1.2

Divisez $y^{d}$ par $1$ .

$y^{d} = \frac{6 y^{2} x^{c - 6}}{6}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{d} = \frac{6 y^{2} x^{c - 6}}{6}$

Étape 5.1.3.1.2

Divisez $y^{2} x^{c - 6}$ par $1$ .

$y^{d} = y^{2} x^{c - 6}$

Étape 5.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (y^{d}) = \ln (y^{2} x^{c - 6})$

Étape 5.3

Développez $\ln (y^{d})$ en déplaçant $d$ hors du logarithme.

$d \ln (y) = \ln (y^{2} x^{c - 6})$

Étape 5.4

Développez le côté droit.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $\ln (y^{2} x^{c - 6})$ comme $\ln (y^{2}) + \ln (x^{c - 6})$ .

$d \ln (y) = \ln (y^{2}) + \ln (x^{c - 6})$

Étape 5.4.2

Développez $\ln (y^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$d \ln (y) = 2 \ln (y) + \ln (x^{c - 6})$

Étape 5.4.3

Développez $\ln (x^{c - 6})$ en déplaçant $c - 6$ hors du logarithme.

$d \ln (y) = 2 \ln (y) + (c - 6) \ln (x)$

Étape 5.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$d \ln (y) = 2 \ln (y) + c \ln (x) - 6 \ln (x)$

Étape 5.6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$d \ln (y) - 2 \ln (y) - c \ln (x) + 6 \ln (x) = 0$

Étape 5.7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $d$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.7.1

Ajoutez $2 \ln (y)$ aux deux côtés de l’équation.

$d \ln (y) - c \ln (x) + 6 \ln (x) = 2 \ln (y)$

Étape 5.7.2

Ajoutez $c \ln (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$d \ln (y) + 6 \ln (x) = 2 \ln (y) + c \ln (x)$

Étape 5.7.3

Soustrayez $6 \ln (x)$ des deux côtés de l’équation.

$d \ln (y) = 2 \ln (y) + c \ln (x) - 6 \ln (x)$

Étape 5.8

Divisez chaque terme dans $d \ln (y) = 2 \ln (y) + c \ln (x) - 6 \ln (x)$ par $\ln (y)$ et simplifiez.

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Étape 5.8.1

Divisez chaque terme dans $d \ln (y) = 2 \ln (y) + c \ln (x) - 6 \ln (x)$ par $\ln (y)$ .

$\frac{d \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{2 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{c \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{- 6 \ln (x)}{\ln (y)}$

Étape 5.8.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (y)$ .

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Étape 5.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{2 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{c \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{- 6 \ln (x)}{\ln (y)}$

Étape 5.8.2.1.2

Divisez $d$ par $1$ .

$d = \frac{2 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{c \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{- 6 \ln (x)}{\ln (y)}$

Étape 5.8.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $\ln (y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{c \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{- 6 \ln (x)}{\ln (y)}$

Étape 5.8.3.1.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$d = 2 + \frac{c \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{- 6 \ln (x)}{\ln (y)}$

Étape 5.8.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = 2 + \frac{c \ln (x)}{\ln (y)} - \frac{6 \ln (x)}{\ln (y)}$